Irreführende Darstellungen

Abgeschnittene Achsen, falsche Flächen und andere Verzerrungen.

Kernideen

• Bei Balken kodiert die Länge die Menge, also muss die Achse bei null beginnen. Bei Linien trägt die Steigung die Aussage, dort ist ein Ausschnitt zulässig.
• Eine zweite y-Achse hat zwei frei wählbare Parameter und damit lässt sich fast jeder Gleichlauf herstellen.
• Zwei unabhängige Irrfahrten korrelieren erstaunlich oft stark. Der Gleichlauf von Niveaus ist kein Beleg für einen Zusammenhang.
• Der gewählte Zeitraum kann die Aussage stärker bestimmen als die Daten.
• Prozent und Prozentpunkte sind verschiedene Dinge, und die Wahl zwischen ihnen verändert die Zahl um ein Vielfaches.
• Die meisten Verzerrungen entstehen aus Bequemlichkeit, nicht aus Absicht.

Erklärung

Vorwissen: Wahrnehmung und Kodierung. Fast jede Verzerrung hier ist ein Missbrauch eines Kanals: Länge, Fläche oder Steigung sagt etwas anderes als die Zahl.

Die abgeschnittene Achse

Der bekannteste Fall, und der einzige, bei dem die Antwort von der Diagrammart abhängt.

Bei einem Balkendiagramm kodiert die Länge des Balkens die Menge. Wer unten etwas wegschneidet, kürzt die Balken ungleichmässig und behauptet damit andere Verhältnisse, als in den Daten stehen. Beispiel 1 rechnet aus, um welchen Faktor.

Bei einem Liniendiagramm ist der Ausschnitt dagegen zulässig und oft notwendig, weil dort die Steigung die Aussage trägt und nicht der Abstand zur Grundlinie. Eine Zeitreihe von Körpertemperaturen ab null darzustellen wäre unsinnig. Wer den Ausschnitt wählt, sagt es in der Achsenbeschriftung.

Die zweite y-Achse

Zwei Kurven mit verschiedenen Einheiten, jede an ihrer eigenen Achse: Das ist die eleganteste Art, einen Zusammenhang zu behaupten, den es nicht gibt. Die zweite Achse hat zwei freie Parameter, Nullpunkt und Massstab. Mit zwei freien Parametern lässt sich fast jede Kurve auf jede andere legen und mit einer anderen Wahl derselbe Gleichlauf wieder auflösen oder umkehren.

Dazu kommt ein zweites Problem, das nichts mit der Grafik zu tun hat: Zwei Zeitreihen, die beide wandern, korrelieren auch dann, wenn sie nichts miteinander zu tun haben. Beispiel 2 beziffert, wie oft das passiert.

Was stattdessen geht: zwei Teilgrafiken übereinander mit gemeinsamer Zeitachse. Der zeitliche Bezug bleibt, die Suggestion verschwindet. Wenn es wirklich um den Zusammenhang geht, ist das Streudiagramm der Veränderungen ehrlicher, siehe Korrelation.

Flächen und Radien

Wird eine Menge über eine Kreisfläche dargestellt und dabei der Radius proportional zur Menge gesetzt, wächst die Fläche im Quadrat: Der doppelte Wert sieht viermal so gross aus, der achtfache 64-mal. Dasselbe gilt für Bildsymbole, die in beide Richtungen skaliert werden.

Durchgerechnet ist der Fall unter Wahrnehmung und Kodierung, Beispiel 2.

Der gewählte Ausschnitt

Ein Zeitraum lässt sich so wählen, dass er eine Aussage trägt, die über den ganzen Verlauf nicht gilt. Das ist besonders wirksam, weil nichts an der Grafik falsch ist: Die Zahlen stimmen, die Achsen stimmen, nur der Ausschnitt ist die Botschaft.

Die Gegenprobe ist einfach: Wie sieht dieselbe Grafik mit dem doppelten Zeitraum aus? Ändert sich die Aussage, gehört der längere Zeitraum in die Grafik oder wenigstens die Begründung in die Bildunterschrift.

Aggregation, die den Effekt umdreht

Wenn Gruppen zusammengefasst werden, kann der Gesamttrend in die andere Richtung zeigen als jede einzelne Gruppe. Das ist kein Darstellungsfehler, sondern ein Denkfehler, der sich in der Darstellung fortsetzt, und er heisst Simpson-Paradox.

Prozent, Prozentpunkte und die Basis

Dieselbe Veränderung lässt sich als “ein Prozentpunkt mehr” oder als “50 Prozent mehr” beschreiben. Beides ist richtig, und die Wahl entscheidet, wie gross die Sache wirkt. Eine Grafik, die nur die relative Veränderung zeigt, ohne die Basis zu nennen, ist unvollständig.

Die kurze Prüfliste

• Beginnt die Balkenachse bei null?
• Steht eine zweite y-Achse in der Grafik, und lässt sie sich vermeiden?
• Sind Flächen nach Fläche skaliert und nicht nach Radius?
• Ist der Zeitraum begründet, und was zeigt der doppelte?
• Verstecken zusammengefasste Gruppen einen gegenläufigen Effekt?
• Stehen bei Prozentangaben die Basis und die absolute Zahl dabei?
• Ist die Achse nirgends umgedreht, ohne dass es dasteht?
• Trägt der Titel eine Aussage, die die Daten hergeben?

Beispiele

Beispiel 1: Um welchen Faktor die abgeschnittene Achse täuscht

Frage und Datenlage

Vier Quartalswerte: 96, 98, 99, 101. Ein Zuwachs von 5.2 Prozent. Die Frage ist nicht, ob das Abschneiden täuscht, sondern um wie viel.

Rechnung

R

quartale <- c("Q1", "Q2", "Q3", "Q4")
werte <- c(96, 98, 99, 101)

round(c(echtes_verhaeltnis = max(werte) / min(werte),
        zuwachs_prozent = (werte[4] / werte[1] - 1) * 100), 4)

echtes_verhaeltnis    zuwachs_prozent 
            1.0521             5.2083 

for (basis in c(0, 90, 95)) {
  laengen <- werte - basis
  cat(sprintf("Achse ab %3d: Balkenlängen %-18s Verhältnis %5.3f  Verzerrung %4.2f-fach\n",
              basis, paste(laengen, collapse = " "),
              max(laengen) / min(laengen),
              (max(laengen) / min(laengen)) / (max(werte) / min(werte))))
}

Achse ab   0: Balkenlängen 96 98 99 101       Verhältnis 1.052  Verzerrung 1.00-fach
Achse ab  90: Balkenlängen 6 8 9 11           Verhältnis 1.833  Verzerrung 1.74-fach
Achse ab  95: Balkenlängen 1 3 4 6            Verhältnis 6.000  Verzerrung 5.70-fach

par(mfrow = c(1, 3), mar = c(3, 4, 3, 1))
for (basis in c(0, 90, 95)) {
  barplot(werte, names.arg = quartale, col = neutral, border = NA,
          ylim = c(basis, 102), xpd = FALSE,
          ylab = "Index", main = paste("Achse ab", basis))
}
par(mfrow = c(1, 1))

Abbildung 1: Beispiel 1: dieselben vier Werte mit drei Achsenanfängen.

Python

quartale = ["Q1", "Q2", "Q3", "Q4"]
werte = np.array([96., 98., 99., 101.])

print({"echtes_verhaeltnis": round(float(werte.max() / werte.min()), 4),
       "zuwachs_prozent": round(float((werte[3] / werte[0] - 1) * 100), 4)})

{'echtes_verhaeltnis': 1.0521, 'zuwachs_prozent': 5.2083}

for basis in [0, 90, 95]:
    laengen = werte - basis
    v = laengen.max() / laengen.min()
    print(f"Achse ab {basis:3d}: Balkenlängen {str(laengen):<22}"
          f" Verhältnis {v:5.3f}  Verzerrung {v / (werte.max() / werte.min()):4.2f}-fach")

Achse ab   0: Balkenlängen [ 96.  98.  99. 101.]  Verhältnis 1.052  Verzerrung 1.00-fach
Achse ab  90: Balkenlängen [ 6.  8.  9. 11.]      Verhältnis 1.833  Verzerrung 1.74-fach
Achse ab  95: Balkenlängen [1. 3. 4. 6.]          Verhältnis 6.000  Verzerrung 5.70-fach

fig, achsen = plt.subplots(1, 3, figsize=(7, 3))
for achse, basis in zip(achsen, [0, 90, 95]):
    _ = achse.bar(quartale, werte - basis, bottom=basis, color=NEUTRAL)
    _ = achse.set_ylim(basis, 102)
    _ = achse.set_title(f"Achse ab {basis}")
    _ = achse.set_ylabel("Index")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 2: Beispiel 1: dieselbe Gegenüberstellung in Python.

Output Zeile für Zeile

Achse beginnt bei	Balkenlängen	Verhältnis längster zu kürzestem	Verzerrung
0	96, 98, 99, 101	1.052	1.00-fach
90	6, 8, 9, 11	1.833	1.74-fach
95	1, 3, 4, 6	6.000	5.70-fach

Beobachtung	Erklärung
In den Daten stehen 5.2 Prozent Zuwachs	Das Verhältnis vom grössten zum kleinsten Wert ist 1.052.
Ab 90 gezeichnet sieht es wie 83 Prozent aus	Der längste Balken ist 1.83-mal so lang wie der kürzeste. Die behauptete Menge ist um den Faktor 1.74 übertrieben.
Ab 95 gezeichnet wie das Sechsfache	Verzerrung 5.70-fach. Je näher der Achsenanfang an den Daten liegt, desto grösser die Lüge und desto harmloser sieht die Entscheidung beim Erstellen aus.
Die Verzerrung ist berechenbar	Sie ist das Verhältnis der beiden Verhältnisse. Man kann sie also beziffern, statt über “irreführend” zu streiten.
Keine der drei Grafiken enthält eine falsche Zahl	Die Achse ist jedes Mal korrekt beschriftet. Die Täuschung entsteht im Kanal, nicht in den Daten.

Wenn die Unterschiede wirklich klein und trotzdem wichtig sind, gibt es ehrliche Auswege:

Mittel	Wirkung
Liniendiagramm mit beschriftetem Ausschnitt	Steigung trägt die Aussage, der Ausschnitt ist zulässig
Differenz zum Vorquartal als Balken	die kleine Grösse wird zur eigentlichen Grösse, Achse ab null
Indexiert auf Q1 = 100	zeigt die relative Veränderung direkt
Werte anschreiben	die Zahl steht da, unabhängig vom Eindruck

Alle vier zeigen den Unterschied deutlich, ohne die Länge zu missbrauchen.

Interpretation und Ergebnissatz

Ein Zuwachs von 5.2 Prozent erscheint bei einer Achse ab 90 als Verhältnis 1.83 und bei einer Achse ab 95 als Verhältnis 6.0, eine Übertreibung um den Faktor 1.74 beziehungsweise 5.70, bei jedes Mal korrekt beschrifteter Achse.

Beispiel 2: Zwei Achsen, kein Zusammenhang

Frage und Datenlage

Zwei Reihen, die nichts miteinander zu tun haben, beide sind reine Irrfahrten aus getrennten Zufallsströmen. Wie oft sehen solche Paare trotzdem nach einem Zusammenhang aus? 500 Paare über 36 Monate geben die Antwort.

Rechnung

R

N <- 500; n_zeit <- 36
Z <- normalmatrix(2323, 2 * N, n_zeit)

r_niveau <- numeric(N); r_aenderung <- numeric(N)
for (k in seq_len(N)) {
  a <- cumsum(Z[2 * k - 1, ]); b <- cumsum(Z[2 * k, ])
  r_niveau[k] <- cor(a, b)
  r_aenderung[k] <- cor(diff(a), diff(b))
}

round(c(anteil_niveau_ueber_0.5 = mean(abs(r_niveau) > 0.5),
        anteil_niveau_ueber_0.8 = mean(abs(r_niveau) > 0.8),
        anteil_aenderung_ueber_0.5 = mean(abs(r_aenderung) > 0.5),
        mittleres_abs_r_niveau = mean(abs(r_niveau)),
        mittleres_abs_r_aenderung = mean(abs(r_aenderung))), 4)

   anteil_niveau_ueber_0.5    anteil_niveau_ueber_0.8 
                    0.4020                     0.0800 
anteil_aenderung_ueber_0.5     mittleres_abs_r_niveau 
                    0.0040                     0.4211 
 mittleres_abs_r_aenderung 
                    0.1373 

k <- which.max(abs(r_niveau))
round(c(paar = k, r_niveau = r_niveau[k], r_aenderung = r_aenderung[k]), 4)

       paar    r_niveau r_aenderung 
   372.0000     -0.9508     -0.1239 

a <- 100 + cumsum(Z[2 * k - 1, ] * 2)
b <- 50 + cumsum(Z[2 * k, ] * 1.2)
round(c(r_der_gezeigten_reihen = cor(a, b),
        r_der_aenderungen = cor(diff(a), diff(b))), 4)

r_der_gezeigten_reihen      r_der_aenderungen 
               -0.9508                -0.1239 

par(mar = c(4, 4, 2, 4))
plot(a, type = "l", lwd = 2, col = "grey35", xlab = "Monat", ylab = "Reihe A")
par(new = TRUE)
plot(b, type = "l", lwd = 2, col = akzent, axes = FALSE, xlab = "", ylab = "")
axis(4, col = akzent, col.axis = akzent)
mtext("Reihe B", side = 4, line = 2.5, col = akzent)

Abbildung 3: Beispiel 2: das auffälligste der 500 Paare, an zwei y-Achsen gezeichnet.

Python

N, T = 500, 36
Z = normalmatrix(2323, 2 * N, T)

r_niveau = np.empty(N)
r_aenderung = np.empty(N)
for k in range(N):
    a = np.cumsum(Z[2 * k]); b = np.cumsum(Z[2 * k + 1])
    r_niveau[k] = np.corrcoef(a, b)[0, 1]
    r_aenderung[k] = np.corrcoef(np.diff(a), np.diff(b))[0, 1]

print({"anteil_niveau_ueber_0.5": round(float((abs(r_niveau) > 0.5).mean()), 4),
       "anteil_niveau_ueber_0.8": round(float((abs(r_niveau) > 0.8).mean()), 4),
       "anteil_aenderung_ueber_0.5": round(float((abs(r_aenderung) > 0.5).mean()), 4),
       "mittleres_abs_r_niveau": round(float(np.abs(r_niveau).mean()), 4),
       "mittleres_abs_r_aenderung": round(float(np.abs(r_aenderung).mean()), 4)})

k = int(np.argmax(np.abs(r_niveau)))
print({"paar": k + 1, "r_niveau": round(float(r_niveau[k]), 4),
       "r_aenderung": round(float(r_aenderung[k]), 4)})

a = 100 + np.cumsum(Z[2 * k] * 2)
b = 50 + np.cumsum(Z[2 * k + 1] * 1.2)
print({"r_der_gezeigten_reihen": round(float(np.corrcoef(a, b)[0, 1]), 4),
       "r_der_aenderungen": round(float(np.corrcoef(np.diff(a), np.diff(b))[0, 1]), 4)})

fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.2))
_ = achse.plot(np.arange(1, T + 1), a, lw=2, color="0.35")
_ = achse.set_xlabel("Monat")
_ = achse.set_ylabel("Reihe A")
zweite = achse.twinx()
_ = zweite.plot(np.arange(1, T + 1), b, lw=2, color=AKZENT)
_ = zweite.set_ylabel("Reihe B", color=AKZENT)
_ = zweite.tick_params(axis="y", colors=AKZENT)
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 4: Beispiel 2: dieselbe Grafik in Python.

Output Zeile für Zeile

500 Paare unabhängiger Irrfahrten über 36 Monate:

Grösse	Wert
Anteil mit |r| > 0.5 zwischen den Niveaus	40.2 Prozent
Anteil mit |r| > 0.8 zwischen den Niveaus	8.0 Prozent
Anteil mit |r| > 0.5 zwischen den Veränderungen	0.4 Prozent
mittleres |r| der Niveaus	0.4211
mittleres |r| der Veränderungen	0.1373

Das auffälligste Paar (Nummer 371):

Grösse	Wert
Korrelation der Niveaus	−0.9508
Korrelation der Veränderungen	−0.1239

Beobachtung	Erklärung
In 40 Prozent der Fälle korrelieren die Niveaus über 0.5	Bei Reihen, die nachweislich nichts miteinander zu tun haben, sie stammen aus getrennten Zufallsströmen.
In 8 Prozent der Fälle sogar über 0.8	Das ist der Bereich, in dem eine Grafik überzeugend aussieht. Bei acht von hundert zufälligen Paaren.
Bei den Veränderungen passiert das fast nie	0.4 Prozent statt 40. Der Gleichlauf steckt im Wandern, nicht im Zusammenhang.
Das gezeigte Paar hat r = −0.9508	Und die Veränderungen nur −0.1239. Die Grafik legt einen starken Gegenlauf nahe, von dem in den Monatsveränderungen nichts zu finden ist.
Die zweite Achse macht es sichtbar überzeugend	Sie gleicht Niveau und Massstab aus, sodass beide Kurven denselben Raum füllen. Ohne sie läge die eine Kurve oben und die andere unten, und niemand hielte das für einen Zusammenhang.

Zwei Fehler kommen hier zusammen, und beide sind vermeidbar.

Fehler	Prüfung
Niveaus wandernder Reihen korrelieren	Veränderungen korrelieren, nicht Niveaus, siehe Stationarität
Die zweite Achse erzeugt Deckungsgleichheit	zwei Teilgrafiken übereinander mit gemeinsamer Zeitachse

Die ehrliche Grafik für die Frage “hängen die beiden zusammen?” ist das Streudiagramm der Veränderungen, dort hätte dieses Paar eine formlose Punktwolke ergeben.

Interpretation und Ergebnissatz

Von 500 Paaren unabhängiger Irrfahrten über 36 Monate zeigen 40.2 Prozent eine Korrelation der Niveaus über 0.5 und 8.0 Prozent über 0.8; bei den Veränderungen sind es 0.4 Prozent. Das auffälligste Paar erreicht −0.95 zwischen den Niveaus und −0.12 zwischen den Veränderungen.

Beispiel 3: Der gewählte Ausschnitt

Frage und Datenlage

Eine Reihe über 60 Monate, die insgesamt deutlich fällt. Gesucht wird der Ausschnitt, der am stärksten steigt und dann die Frage, was eine Grafik dieses Ausschnitts aussagen würde.

Rechnung

R

t <- 0:59
reihe <- 200 - 1.5 * t + cumsum(qnorm(lehmer(3131, 60)) * 4)

round(c(gesamtsteigung = steigung(t, reihe)), 3)

gesamtsteigung 
        -1.257 

bestes <- list(steigung = -Inf)
for (start in 0:47) {
  for (laenge in c(12, 18)) {
    idx <- (start + 1):(start + laenge)
    s <- steigung(t[idx], reihe[idx])
    if (s > bestes$steigung) bestes <- list(steigung = s, start = start, laenge = laenge)
  }
}
round(unlist(bestes), 3)

steigung    start   laenge 
   0.522   34.000   12.000 

idx <- (bestes$start + 1):(bestes$start + bestes$laenge)
round(c(ausschnitt_anfang = reihe[idx[1]],
        ausschnitt_ende = reihe[idx[length(idx)]],
        veraenderung_prozent = (reihe[idx[length(idx)]] / reihe[idx[1]] - 1) * 100), 1)

   ausschnitt_anfang      ausschnitt_ende veraenderung_prozent 
               123.0                129.5                  5.3 

round(c(gesamt_anfang = reihe[1], gesamt_ende = reihe[60],
        veraenderung_prozent = (reihe[60] / reihe[1] - 1) * 100), 1)

       gesamt_anfang          gesamt_ende veraenderung_prozent 
               192.1                119.9                -37.6 

par(mar = c(4, 4, 2, 1))
plot(t, reihe, type = "l", lwd = 1.6, col = "grey55", xlab = "Monat", ylab = "Wert")
lines(t[idx], reihe[idx], lwd = 3, col = akzent)

Abbildung 5: Beispiel 3: der ganze Verlauf, darin der günstigste Ausschnitt hervorgehoben.

Python

t = np.arange(60)
reihe = 200 - 1.5 * t + np.cumsum(stats.norm.ppf(lehmer(3131, 60)) * 4)

print({"gesamtsteigung": round(steigung(t, reihe), 3)})

{'gesamtsteigung': -1.257}

bestes = {"steigung": -np.inf}
for start in range(48):
    for laenge in (12, 18):
        idx = slice(start, start + laenge)
        s = steigung(t[idx], reihe[idx])
        if s > bestes["steigung"]:
            bestes = {"steigung": s, "start": start, "laenge": laenge}
print({k: round(v, 3) for k, v in bestes.items()})

{'steigung': 0.522, 'start': 34, 'laenge': 12}

idx = slice(bestes["start"], bestes["start"] + bestes["laenge"])
teil = reihe[idx]
print({"ausschnitt_anfang": round(float(teil[0]), 1),
       "ausschnitt_ende": round(float(teil[-1]), 1),
       "veraenderung_prozent": round(float((teil[-1] / teil[0] - 1) * 100), 1)})

{'ausschnitt_anfang': 123.0, 'ausschnitt_ende': 129.5, 'veraenderung_prozent': 5.3}

print({"gesamt_anfang": round(float(reihe[0]), 1),
       "gesamt_ende": round(float(reihe[-1]), 1),
       "veraenderung_prozent": round(float((reihe[-1] / reihe[0] - 1) * 100), 1)})

{'gesamt_anfang': 192.1, 'gesamt_ende': 119.9, 'veraenderung_prozent': -37.6}

fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.2))
_ = achse.plot(t, reihe, lw=1.6, color="0.55")
_ = achse.plot(t[idx], teil, lw=3, color=AKZENT)
_ = achse.set_xlabel("Monat")
_ = achse.set_ylabel("Wert")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 6: Beispiel 3: derselbe Verlauf in Python.

Output Zeile für Zeile

Betrachtung	Steigung je Monat	Anfang	Ende	Veränderung
ganze Reihe, 60 Monate	−1.257	192.1	119.9	−37.6 Prozent
Ausschnitt, Monat 35 bis 46	+0.522	123.0	129.5	+5.3 Prozent

Beobachtung	Erklärung
Die Reihe verliert insgesamt 37.6 Prozent	Die Steigung ist über 60 Monate klar negativ.
Es gibt einen Zwölfmonatsausschnitt mit +5.3 Prozent	Und er ist nicht konstruiert, sondern einfach der beste, den die Suche findet. In verrauschten Daten gibt es ihn fast immer.
Die Steigungen haben verschiedene Vorzeichen	−1.257 gegen +0.522. Dieselben Daten, zwei gegensätzliche Aussagen, beide mit korrekt beschrifteten Achsen.
Der Ausschnitt ist ein Fünftel der Reihe	Zwölf von 60 Monaten. Das ist kein absurd kleiner Ausschnitt, sondern ein üblicher Berichtszeitraum.
Die Suche nach dem besten Ausschnitt ist automatisierbar	Genau das macht sie gefährlich: Man muss nicht lügen wollen, es reicht, den Zeitraum zu wählen, der die Botschaft stützt.

Die Gegenprobe, die immer funktioniert: dieselbe Grafik mit dem doppelten Zeitraum zeichnen. Bleibt die Aussage, war der Ausschnitt in Ordnung. Dreht sie sich um, gehört der längere Zeitraum in die Grafik, zumindest als blasse Linie im Hintergrund, wie in der Abbildung oben.

Das ist die visuelle Entsprechung zum multiplen Testen: Wer lange genug sucht, findet einen Ausschnitt, der die gewünschte Aussage stützt.

Interpretation und Ergebnissatz

Die Reihe fällt über 60 Monate um 37.6 Prozent bei einer Steigung von −1.257 je Monat. Der günstigste Zwölfmonatsausschnitt steigt dagegen um 5.3 Prozent mit einer Steigung von +0.522, dieselben Daten, entgegengesetzte Aussage.

Beispiel 4: Das Simpson-Paradox

Frage und Datenlage

Drei Gruppen zu je 20 Beobachtungen. Innerhalb jeder Gruppe fällt der Zusammenhang, über alle zusammen steigt er. Die Steigungen machen es eindeutig.

Rechnung

R

gruppe <- rep(c("A", "B", "C"), each = 20)
x <- c(seq(1, 4, length.out = 20), seq(4, 7, length.out = 20),
       seq(7, 10, length.out = 20))
y <- c(seq(6, 4, length.out = 20), seq(9, 7, length.out = 20),
       seq(12, 10, length.out = 20))

round(c(gesamtsteigung = steigung(x, y), gesamtkorrelation = cor(x, y)), 4)

   gesamtsteigung gesamtkorrelation 
           0.7977            0.8260 

for (g in c("A", "B", "C")) {
  m <- gruppe == g
  cat(sprintf("Gruppe %s: Steigung %7.4f  Korrelation %7.4f\n",
              g, steigung(x[m], y[m]), cor(x[m], y[m])))
}

Gruppe A: Steigung -0.6667  Korrelation -1.0000
Gruppe B: Steigung -0.6667  Korrelation -1.0000
Gruppe C: Steigung -0.6667  Korrelation -1.0000

farben <- c(A = "#1b7837", B = "#762a83", C = "#b35806")
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(x, y, pch = 16, col = "grey45", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "alle Daten zusammen")
abline(lm(y ~ x), lwd = 2)
plot(x, y, pch = 16, col = farben[gruppe], xlab = "x", ylab = "y",
     main = "nach Gruppen getrennt")
for (g in c("A", "B", "C")) {
  m <- gruppe == g
  abline(lm(y[m] ~ x[m]), lwd = 2, col = farben[[g]])
}
par(mfrow = c(1, 1))

Abbildung 7: Beispiel 4: links alle Daten zusammen, rechts nach Gruppen getrennt.

Python

gruppe = np.repeat(["A", "B", "C"], 20)
x = np.concatenate([np.linspace(1, 4, 20), np.linspace(4, 7, 20),
                    np.linspace(7, 10, 20)])
y = np.concatenate([np.linspace(6, 4, 20), np.linspace(9, 7, 20),
                    np.linspace(12, 10, 20)])

print({"gesamtsteigung": round(steigung(x, y), 4),
       "gesamtkorrelation": round(float(np.corrcoef(x, y)[0, 1]), 4)})
for g in "ABC":
    m = gruppe == g
    print(f"Gruppe {g}: Steigung {steigung(x[m], y[m]):7.4f}"
          f"  Korrelation {np.corrcoef(x[m], y[m])[0, 1]:7.4f}")

farben = {"A": "#1b7837", "B": "#762a83", "C": "#b35806"}
fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.4))
_ = achsen[0].scatter(x, y, s=14, color="0.45")
k, d = np.polyfit(x, y, 1)
_ = achsen[0].plot(x, k * x + d, lw=2, color="black")
_ = achsen[0].set_title("alle Daten zusammen")
for g in "ABC":
    m = gruppe == g
    _ = achsen[1].scatter(x[m], y[m], s=14, color=farben[g])
    kg, dg = np.polyfit(x[m], y[m], 1)
    _ = achsen[1].plot(x[m], kg * x[m] + dg, lw=2, color=farben[g])
_ = achsen[1].set_title("nach Gruppen getrennt")
for achse in achsen:
    _ = achse.set_xlabel("x")
    _ = achse.set_ylabel("y")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 8: Beispiel 4: dieselbe Gegenüberstellung in Python.

Output Zeile für Zeile

Betrachtung	Steigung	Korrelation
alle Daten zusammen	+0.7977	+0.826
Gruppe A	−0.6667	−1.000
Gruppe B	−0.6667	−1.000
Gruppe C	−0.6667	−1.000

Beobachtung	Erklärung
Die Gesamtsteigung ist positiv, jede Gruppensteigung negativ	+0.80 gegen dreimal −0.67. Das ist kein Rundungsartefakt und kein Zufall der Stichprobe.
Die Korrelation innerhalb der Gruppen ist exakt −1	Die Daten sind bewusst so gebaut: In jeder Gruppe ist der Zusammenhang perfekt und fallend.
Trotzdem beträgt die Gesamtkorrelation +0.83	Weil die Gruppen entlang der Diagonalen versetzt liegen: Gruppe C hat sowohl höhere x- als auch höhere y-Werte.
Die Grafik links ist nicht falsch	Sie beantwortet nur eine andere Frage: “Wie hängen x und y zusammen, wenn ich die Gruppe nicht kenne?”
Welche Darstellung richtig ist, entscheidet die Fragestellung	Geht es um den Effekt innerhalb vergleichbarer Fälle, ist die getrennte Darstellung die richtige. Geht es um die Vorhersage ohne Kenntnis der Gruppe, die gemeinsame.

Woran man den Verdacht früh bemerkt: Wenn die Punktwolke in Klumpen zerfällt, ist die Gruppierung meist schon zu sehen, noch bevor man weiss, welche Variable sie erzeugt. Das ist ein Grund, immer zuerst das Streudiagramm anzusehen und nicht nur die Korrelationszahl.

Der statistische Hintergrund steht unter Korrelation und multiple lineare Regression; dort ist es dieselbe Sache unter dem Namen Konfundierung.

Interpretation und Ergebnissatz

Über alle 60 Beobachtungen steigt der Zusammenhang mit einer Steigung von +0.80 und einer Korrelation von +0.83; innerhalb jeder der drei Gruppen fällt er mit −0.67 und einer Korrelation von exakt −1. Beide Grafiken zeigen dieselben Daten und beantworten verschiedene Fragen.

Beispiel 5: Prozent, Prozentpunkte und die fehlende Basis

Frage und Datenlage

Zwei Veränderungen, die sich in der Grafik gleich gross darstellen lassen: eine Nebenwirkungsrate von 2 auf 3 Prozent und ein Marktanteil von 40 auf 44 Prozent. Welche ist die grössere?

Rechnung

R

faelle <- data.frame(
  name = c("Nebenwirkung", "Marktanteil"),
  vorher = c(0.02, 0.40),
  nachher = c(0.03, 0.44))

faelle$punkte <- (faelle$nachher - faelle$vorher) * 100
faelle$relativ <- (faelle$nachher / faelle$vorher - 1) * 100
faelle$betroffene_je_1000 <- (faelle$nachher - faelle$vorher) * 1000
print(faelle)

          name vorher nachher punkte relativ betroffene_je_1000
1 Nebenwirkung   0.02    0.03      1      50                 10
2  Marktanteil   0.40    0.44      4      10                 40

par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 6, 3, 1))
barplot(faelle$punkte, names.arg = faelle$name, horiz = TRUE, las = 1,
        col = neutral, border = NA, xlab = "Prozentpunkte",
        main = "absolut")
barplot(faelle$relativ, names.arg = faelle$name, horiz = TRUE, las = 1,
        col = akzent, border = NA, xlab = "Prozent",
        main = "relativ")
par(mfrow = c(1, 1))

Abbildung 9: Beispiel 5: dieselben zwei Veränderungen, links absolut, rechts relativ.

Python

faelle = pd.DataFrame({"name": ["Nebenwirkung", "Marktanteil"],
                       "vorher": [0.02, 0.40],
                       "nachher": [0.03, 0.44]})
faelle["punkte"] = (faelle["nachher"] - faelle["vorher"]) * 100
faelle["relativ"] = (faelle["nachher"] / faelle["vorher"] - 1) * 100
faelle["betroffene_je_1000"] = (faelle["nachher"] - faelle["vorher"]) * 1000
print(faelle.to_string(index=False))

fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3))
_ = achsen[0].barh(faelle["name"], faelle["punkte"], color=NEUTRAL)
_ = achsen[0].set_xlabel("Prozentpunkte")
_ = achsen[0].set_title("absolut")
_ = achsen[1].barh(faelle["name"], faelle["relativ"], color=AKZENT)
_ = achsen[1].set_xlabel("Prozent")
_ = achsen[1].set_title("relativ")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 10: Beispiel 5: dieselbe Gegenüberstellung in Python.

Output Zeile für Zeile

Fall	vorher	nachher	Prozentpunkte	relative Zunahme	Betroffene je 1000
Nebenwirkung	2 %	3 %	1.0	+50.0 %	10
Marktanteil	40 %	44 %	4.0	+10.0 %	40

Beobachtung	Erklärung
Absolut ist der Marktanteil die grössere Veränderung	4.0 gegen 1.0 Prozentpunkte, also das Vierfache.
Relativ ist die Nebenwirkung die grössere	+50 gegen +10 Prozent, also das Fünffache.
Beide Aussagen sind richtig	Und sie führen zu entgegengesetzten Rangfolgen. Die linke und die rechte Grafik widersprechen sich nicht, sie messen Verschiedenes.
“50 Prozent mehr Nebenwirkungen” klingt alarmierend	Betrifft aber 10 von 1000 zusätzlich. Die absolute Zahl ist diejenige, nach der man handelt.
Wer nur eine der beiden Grafiken zeigt, hat entschieden	Ohne es zu sagen. Deshalb gehört die Basis dazu: “von 2 auf 3 Prozent” ist vollständig, “50 Prozent mehr” ist es nicht.

Die Regel für Berichte: Immer beides nennen, die relative Veränderung und die absolute, mit Basis.

Formulierung	vollständig?
“50 Prozent mehr Nebenwirkungen”	nein, die Basis fehlt
“ein Prozentpunkt mehr”	nein, die Grössenordnung fehlt
“von 2 auf 3 Prozent, also 10 zusätzliche Fälle je 1000”	ja

Dasselbe Thema in der Statistik: Effektstärken und bedingte Wahrscheinlichkeit, wo die Basisrate über die Aussagekraft eines Tests entscheidet.

Interpretation und Ergebnissatz

Der Anstieg von 2 auf 3 Prozent ist relativ mit +50 Prozent die grössere Veränderung, absolut mit 1.0 Prozentpunkten die kleinere; beim Marktanteil von 40 auf 44 Prozent ist es umgekehrt (+10 Prozent, 4.0 Prozentpunkte). Beide Darstellungen sind korrekt und ergeben entgegengesetzte Rangfolgen.

Verständnisfragen

Ein Liniendiagramm zeigt die Serverauslastung zwischen 68 und 74 Prozent, die Achse beginnt bei 65. Ist das irreführend?

Ja, jede Achse muss bei null beginnen

Diese Regel gilt für Balken, nicht allgemein.

Nein, bei Linien trägt die Steigung die Aussage

Richtig. Eine Achse ab null würde den Verlauf zu einer flachen Linie zusammendrücken und die Information vernichten. Der Ausschnitt gehört beschriftet, mehr nicht.

Nur, wenn die Schwankung klein ist

Die Grösse der Schwankung ändert die Logik nicht.

Vier Balken mit den Werten 96 bis 101 werden ab 95 gezeichnet. Wie stark ist der Eindruck verzerrt?

Um das rund 5.7-Fache

Richtig. Das echte Verhältnis ist 1.052, die Balkenlängen stehen dann im Verhältnis 6.0. Je näher der Achsenanfang an den Daten liegt, desto grösser die Verzerrung.

Um das Doppelte

Das wäre ungefähr der Fall bei einem Achsenanfang von 90, dort beträgt die Verzerrung 1.74.

Gar nicht, die Achse ist ja beschriftet

Die Beschriftung ist korrekt, der Kanal Länge behauptet trotzdem etwas anderes.

Eine Infografik stellt zwei Beträge als Kreise dar, der zweite ist doppelt so gross im Durchmesser. Wie liest das Publikum das?

Als das Vierfache, weil die Fläche quadratisch wächst

Richtig. Wahrgenommen wird die Fläche. Wer den Betrag verdoppeln will, multipliziert den Radius mit der Wurzel aus zwei.

Als das Doppelte, weil der Durchmesser verdoppelt wurde

Der Durchmesser ist nicht der Kanal, über den gelesen wird.

Das hängt von der Legende ab

Eine Legende korrigiert den optischen Eindruck nicht.

Zwei Zeitreihen an zwei y-Achsen laufen auffällig im Gleichschritt. Was ist die erste Prüfung?

Die Korrelation der Veränderungen statt der Niveaus ansehen

Richtig. Bei 500 Paaren unabhängiger Irrfahrten lag die Korrelation der Niveaus in 40 Prozent der Fälle über 0.5, die der Veränderungen nur in 0.4 Prozent. Der Gleichlauf steckt im Wandern.

Prüfen, ob die Achsen beschriftet sind

Sie sind es typischerweise; das Problem sind die zwei frei wählbaren Parameter der zweiten Achse.

Die Stichprobe vergrössern

Bei längeren Irrfahrten wird die Scheinkorrelation nicht kleiner.

Eine Reihe fällt über 60 Monate um 37.6 Prozent. Ein Bericht zeigt einen Zwölfmonatsausschnitt mit +5.3 Prozent. Ist die Grafik falsch?

Nein, aber unvollständig, die Aussage dreht sich mit dem Ausschnitt um

Richtig. Die Zahlen und Achsen stimmen, die Botschaft steckt in der Wahl des Zeitraums. Die Gegenprobe ist der doppelte Zeitraum.

Ja, ein solcher Ausschnitt ist immer unzulässig

Ein Berichtszeitraum von zwölf Monaten ist üblich; entscheidend ist, ob der längere Verlauf etwas anderes sagt.

Nein, zwölf Monate sind repräsentativ genug

Hier waren sie es gerade nicht: die Steigungen haben verschiedene Vorzeichen.

Eine Nebenwirkung steigt von 2 auf 3 Prozent. Wie berichtet man das vollständig?

Von 2 auf 3 Prozent, also 10 zusätzliche Fälle je 1000

Richtig, relative und absolute Angabe mit Basis. “50 Prozent mehr” allein verschweigt, wie klein die Basis ist.

50 Prozent mehr Nebenwirkungen

Richtig gerechnet, aber ohne die Basis nicht einzuordnen.

Ein Prozentpunkt mehr

Richtig gerechnet, verschweigt aber, dass sich die Rate um die Hälfte erhöht hat.

Verlinkte Ressourcen

• Claus Wilke: Common pitfalls of color use und weitere Fallen
• Calling Bullshit: Misleading Axes
• Simpson-Paradox erklärt
• Wahrnehmung und Kodierung, die Kanäle, die hier missbraucht werden
• Korrelation, Scheinkorrelation und Konfundierung