| Fragestellung | Wie gross ist eine Kennzahl in der Grundgesamtheit, und wie genau ist die Schätzung aus einer Stichprobe? |
| Zielvariable | metrisch für den Erwartungswert, binär für einen Anteil |
| Prädiktoren | keine |
| Was die Methode liefert | Punktschätzer, Standardfehler und ein Konfidenzintervall zu einem gewählten Niveau |
| R-Funktion | t.test(x)$conf.int für den Mittelwert, prop.test() oder binom.test() für Anteile |
| Python-Funktion | stats.t.interval() für den Mittelwert, proportion_confint() für Anteile |
| Verwandte Methoden | Hypothesentests, t-Test für eine Stichprobe, Bootstrap |
Typische Fragestellungen: mittlere Durchlaufzeit einer Produktion, Anteil fehlerhafter Teile, durchschnittliche Zustimmung in einer Befragung. Gemeinsam ist ihnen, dass eine Stichprobe vorliegt und eine Aussage über die Grundgesamtheit gemacht werden soll, aus der sie stammt.
Die Methode setzt voraus, dass die Stichprobe zufällig aus der interessierenden Grundgesamtheit gezogen wurde. Diese Bedingung ist die wichtigste und die am häufigsten verletzte: eine bequem erreichbare Stichprobe liefert ein sauber gerechnetes Intervall um den falschen Wert.
| Situation | Stattdessen |
|---|---|
| Zwei Gruppen sollen verglichen werden | t-Test für zwei Stichproben |
| Es geht um eine Ja-Nein-Entscheidung gegen einen Referenzwert | t-Test für eine Stichprobe |
| Die Verteilung ist stark schief und n klein | Bootstrap |
| Die Kennzahl ist der Median oder ein anderes Quantil | Bootstrap oder verteilungsfreie Intervalle |
| Die Stichprobe ist nicht zufällig gezogen | kein Verfahren repariert das; die Einschränkung gehört in den Bericht |
Bisher beschrieben Kennzahlen die vorliegenden Daten. Interessant ist aber selten die Stichprobe, sondern das, woraus sie stammt. Aus dreissig gemessenen Werkstücken soll etwas über die gesamte Produktion folgen.
Der entscheidende Gedankenschritt: Eine zweite Stichprobe hätte einen anderen Mittelwert ergeben. Der berechnete Wert ist damit selbst eine Zufallsgrösse, und die Frage lautet, wie stark er von Stichprobe zu Stichprobe schwankt.
Das lässt sich simulieren, weil wir die Grundgesamtheit hier kennen:
# Grundgesamtheit: Erwartungswert 500, Standardabweichung 40
werte <- normalwerte(2026, 2000 * 30, mittel = 500, streuung = 40)
mittelwerte <- rowMeans(matrix(werte, nrow = 2000, ncol = 30, byrow = TRUE))
ggplot(data.frame(mittelwerte), aes(mittelwerte)) +
geom_histogram(bins = 40, fill = "grey75", colour = "white") +
geom_vline(xintercept = 500, linewidth = 0.8) +
labs(x = "Mittelwert einer Stichprobe (n = 30)", y = "Anzahl")
werte = normalwerte(2026, 2000 * 30, mittel=500, streuung=40)
mittelwerte = werte.reshape(2000, 30).mean(axis=1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.2))
ax.hist(mittelwerte, bins=40, color="0.75", edgecolor="white")
ax.axvline(500, color="black")
ax.set_xlabel("Mittelwert einer Stichprobe (n = 30)")
ax.set_ylabel("Anzahl")
plt.show()
Diese Verteilung heisst Stichprobenverteilung. Sie liegt um den wahren Wert herum, und ihre Streuung ist die Grösse, um die es geht.
Der Unterschied wird ständig verwechselt und ist zentral.
| Grösse | beschreibt die Streuung von | hängt ab von |
|---|---|---|
| Standardabweichung \(s\) | den Einzelwerten | der Grundgesamtheit |
| Standardfehler \(s/\sqrt{n}\) | dem geschätzten Mittelwert | zusätzlich vom Stichprobenumfang |
stichprobe <- werte[1:30]
c(streuung_einzelwerte = sd(stichprobe),
standardfehler = sd(stichprobe) / sqrt(length(stichprobe)),
simuliert = sd(mittelwerte)) |> round(2)streuung_einzelwerte standardfehler simuliert
35.26 6.44 7.32 Die simulierte Streuung der 2000 Mittelwerte beträgt 7.32, die Formel \(40/\sqrt{30}\) liefert 7.30. Das ist der Beleg dafür, dass der Standardfehler tatsächlich misst, was er messen soll: die Schwankung des Mittelwerts von Stichprobe zu Stichprobe.
Der aus einer Stichprobe geschätzte Standardfehler weicht davon ab, hier 6.44 statt 7.30, weil auch die geschätzte Standardabweichung schwankt.
Die Wurzel im Nenner hat eine unangenehme Folge: Genauigkeit wird teuer. Wer den Standardfehler halbieren will, braucht die vierfache Stichprobe.
n <- c(10, 40, 160, 640)
data.frame(n, standardfehler = round(40 / sqrt(n), 2)) n standardfehler
1 10 12.65
2 40 6.32
3 160 3.16
4 640 1.58Das Konfidenzintervall für den Erwartungswert setzt diese Bestandteile zusammen:
\[\bar{x} \pm t_{1-\alpha/2,\; n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]
| Bestandteil | Bedeutung |
|---|---|
| \(\bar{x}\) | Punktschätzer, der Mittelwert der Stichprobe |
| \(s\) | Standardabweichung der Stichprobe |
| \(n\) | Stichprobenumfang |
| \(s/\sqrt{n}\) | Standardfehler, die Streuung des Mittelwerts von Stichprobe zu Stichprobe |
| \(t_{1-\alpha/2,\;n-1}\) | Faktor aus der t-Verteilung, wächst bei kleinem n und bei höherem Niveau |
| Voraussetzung | Was sie bedeutet | Prüfung | Folge bei Verletzung | Vorgehen |
|---|---|---|---|---|
| Zufallsstichprobe | Jede Einheit der Grundgesamtheit hatte eine bekannte Chance | aus dem Erhebungsdesign, nicht aus den Daten | Das Intervall ist um den falschen Wert zentriert, und keine Rechnung zeigt das | Auswahl korrigieren oder die Einschränkung berichten |
| Unabhängigkeit | Die Beobachtungen beeinflussen sich nicht | Design, Zeit- oder Klumpenstruktur prüfen | Standardfehler zu klein, Intervall zu schmal | Verfahren für geschachtelte Daten |
| Annähernd normalverteilter Mittelwert | Nicht die Daten, sondern der Mittelwert muss normal sein | QQ-Plot, Schiefe, n | Überdeckung weicht vom Niveau ab, vor allem bei kleinem n | Bootstrap oder Transformation |
| Für Anteile: genügend Treffer | Faustregel: mindestens etwa zehn Treffer und zehn Nichttreffer | Auszählen | Das einfache Intervall reicht über null oder eins hinaus | Wilson oder Clopper-Pearson |
Bei grossem n sorgt der zentrale Grenzwertsatz dafür, dass die dritte Voraussetzung praktisch erfüllt ist, auch wenn die Einzelwerte schief verteilt sind.
R, t.test(x):
| Grösse | Was sie sagt | Faustregel oder Falle |
|---|---|---|
mean of x |
Punktschätzer | die Zahl, um die das Intervall liegt |
95 percent confidence interval |
Unter- und Obergrenze | die Spanne der mit den Daten vereinbaren Werte |
t, df |
Teststatistik und Freiheitsgrade | df ist n minus eins; sie bestimmen den Faktor |
p-value |
zum Test gegen null | für die reine Schätzung ohne Bedeutung |
alternative hypothesis |
die geprüfte Gegenannahme | erinnert daran, dass t.test zugleich testet |
Python, stats.t.interval() liefert nur das Tupel aus Unter- und Obergrenze. Punktschätzer, Standardfehler und Freiheitsgrade stehen dort nicht dabei, sondern werden selbst berechnet und gehören trotzdem in den Bericht. Wer die vollständige Tabelle möchte, nimmt pingouin.ttest(x, 0); sie enthält zusätzlich Effektstärke und Power.
Für Anteile gibt prop.test() in R Schätzwert, Intervall und einen Test aus, proportion_confint() in Python nur die beiden Grenzen. Die Methode steht in Python ausdrücklich im Aufruf (wilson, beta, normal), in R entscheidet die Funktionswahl darüber.
Hier liegt die häufigste Fehlinterpretation der ganzen Statistik. Die Aussage bezieht sich auf das Verfahren, nicht auf das einzelne berechnete Intervall. Der wahre Parameter ist fest, das Intervall ist zufällig.
Richtig ist: Wendet man das Verfahren immer wieder an, überdecken 95 Prozent der so erzeugten Intervalle den wahren Wert. Falsch ist die Aussage, der Parameter liege mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit in diesem einen Bereich.
Beispiel 3 zeigt das an hundert Wiederholungen: Die Intervalle wandern, der wahre Wert steht fest, und 94 der 100 enthalten ihn. Welche sechs danebenliegen, lässt sich einem einzelnen Intervall nicht ansehen. Genau deshalb ist die Aussage über das Verfahren und nicht über das Einzelintervall formuliert.
Eine zulässige Kurzform für den Bericht lautet: “Mit den Daten vereinbar sind Werte zwischen [unten] und [oben].”
Dazu kommen drei Verwechslungen, die regelmässig vorkommen:
Vorlage für den Ergebnissatz:
[Kennzahl] beträgt [Schätzwert] [Einheit] (95-Prozent-Konfidenzintervall [unten] bis [oben], n = [n]).
Genannt werden Punktschätzer mit Einheit, Intervall und Niveau, der Stichprobenumfang und bei Anteilen zusätzlich das verwendete Verfahren. Bewertet wird das Ergebnis an der Breite des Intervalls und nicht daran, ob es einen bestimmten Wert enthält.
Beispiel für eine Ergebnistabelle:
| Kennzahl | Schätzwert | Standardfehler | 95-Prozent-Intervall | n |
|---|---|---|---|---|
| Mittlere Laufzeit (h) | ||||
| Anteil fehlerhafter Teile |
| Methode | Wann diese statt der reinen Schätzung |
|---|---|
| Hypothesentests: Grundlagen | eine Ja-Nein-Entscheidung gegen eine Nullhypothese ist gefragt |
| t-Test für eine Stichprobe | derselbe Fall als Test formuliert, mit p-Wert |
| t-Test für zwei Stichproben | zwei Gruppen sollen verglichen werden |
| Bootstrap und Resampling | die Verteilung der Schätzung ist unbekannt oder die Kennzahl ist kein Mittelwert |
| Power und Stichprobenumfang | die nötige Stichprobengrösse soll vorher bestimmt werden |
Zwanzig Packungen werden gewogen, angegeben sind 250 Gramm. Gesucht ist nicht die Frage, ob das Sollgewicht eingehalten wird, sondern eine Spanne plausibler Werte für das mittlere Füllgewicht.
fuellgewicht <- c(249.1, 250.8, 248.6, 251.2, 249.9, 250.3, 248.2, 251.7,
249.5, 250.1, 247.9, 250.6, 249.3, 251.0, 248.8, 250.4,
249.7, 250.9, 248.4, 251.4)
n <- length(fuellgewicht)
mittel <- mean(fuellgewicht)
streuung <- sd(fuellgewicht)
standardfehler <- streuung / sqrt(n)
t_kritisch <- qt(0.975, df = n - 1)
round(c(n = n, mittel = mittel, sd = streuung,
standardfehler = standardfehler, t_kritisch = t_kritisch,
unten = mittel - t_kritisch * standardfehler,
oben = mittel + t_kritisch * standardfehler), 4) n mittel sd standardfehler t_kritisch
20.0000 249.8900 1.1327 0.2533 2.0930
unten oben
249.3599 250.4201 # Dasselbe in einem Aufruf
t.test(fuellgewicht)$conf.int[1] 249.3599 250.4201
attr(,"conf.level")
[1] 0.95fuellgewicht = np.array([249.1, 250.8, 248.6, 251.2, 249.9, 250.3, 248.2,
251.7, 249.5, 250.1, 247.9, 250.6, 249.3, 251.0,
248.8, 250.4, 249.7, 250.9, 248.4, 251.4])
n = len(fuellgewicht)
mittel = fuellgewicht.mean()
streuung = fuellgewicht.std(ddof=1)
standardfehler = streuung / np.sqrt(n)
t_kritisch = stats.t.ppf(0.975, df=n - 1)
print(f"n = {n} Mittel = {mittel:.4f} SD = {streuung:.4f}")n = 20 Mittel = 249.8900 SD = 1.1327print(f"Standardfehler = {standardfehler:.4f} t_kritisch = {t_kritisch:.4f}")Standardfehler = 0.2533 t_kritisch = 2.0930print(f"Intervall: {mittel - t_kritisch*standardfehler:.4f}"
f" bis {mittel + t_kritisch*standardfehler:.4f}")Intervall: 249.3599 bis 250.4201| Grösse | Wert hier | Bedeutung | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|---|
| n | 20 | Anzahl Packungen | |
| Mittelwert | 249.890 | Punktschätzung | Die beste Einzelschätzung, aber ohne Angabe ihrer Unsicherheit wertlos. |
| Standardabweichung | 1.133 | Streuung der einzelnen Packungen | Beschreibt die Daten. Rund zwei Drittel der Packungen liegen im Bereich 249.89 ± 1.13. |
| Standardfehler | 0.253 | Streuung des Mittelwerts | Beschreibt die Schätzung. Er ist \(s/\sqrt{n}\) und damit rund viereinhalbmal kleiner als die Standardabweichung. Die Verwechslung dieser beiden Zahlen ist der häufigste Fehler auf dieser Seite. |
| \(t\)-Quantil | 2.0930 | Faktor für 95 Prozent bei 19 Freiheitsgraden | Bei grossem n nähert er sich 1.96. Bei n = 20 ist er noch merklich grösser, was das Intervall verbreitert. |
| Halbbreite | 0.530 | \(t \cdot SE\) | |
| Intervall | 249.360 bis 250.420 | Der Sollwert 250 liegt darin. |
Das Intervall enthält den Sollwert 250. Daraus folgt: Ein Test gegen 250 wäre auf dem 5-Prozent-Niveau nicht signifikant. Das Intervall sagt aber mehr als der Test, denn es beziffert, was noch vereinbar ist: Ein wahres mittleres Füllgewicht von 249.4 Gramm ist mit diesen Daten ebenso verträglich wie eines von 250.4.
Ob das genügt, entscheidet die Vorgabe. Bei einer Toleranz von einem halben Gramm reicht das Intervall an beiden Enden knapp daran; für eine belastbare Aussage bräuchte es mehr Packungen, siehe Beispiel 4.
Das mittlere Füllgewicht beträgt 249.89 g (95-Prozent-Konfidenzintervall 249.36 bis 250.42 g, n = 20, SD = 1.13). Der deklarierte Wert von 250 g liegt im Intervall.
Von 40 geprüften Teilen sind 3 fehlerhaft. Der geschätzte Fehleranteil beträgt 7.5 Prozent. Gesucht ist ein Konfidenzintervall.
Bei Anteilen gibt es mehrere gebräuchliche Verfahren, und sie liefern spürbar verschiedene Ergebnisse. Das ist ein Fall, in dem die Wahl des Verfahrens die Aussage verändert.
treffer <- 3
gesamt <- 40
# Wald: die Lehrbuchformel
p <- treffer / gesamt
z <- qnorm(0.975)
wald <- p + c(-1, 1) * z * sqrt(p * (1 - p) / gesamt)
# Wilson: prop.test ohne Stetigkeitskorrektur
wilson <- prop.test(treffer, gesamt, correct = FALSE)$conf.int
# Clopper-Pearson: exakt
exakt <- binom.test(treffer, gesamt)$conf.int
round(rbind(Wald = wald, Wilson = as.numeric(wilson),
exakt = as.numeric(exakt)), 4) [,1] [,2]
Wald -0.0066 0.1566
Wilson 0.0258 0.1986
exakt 0.0157 0.2039treffer, gesamt = 3, 40
p = treffer / gesamt
z = stats.norm.ppf(0.975)
wald = (p - z * np.sqrt(p * (1 - p) / gesamt),
p + z * np.sqrt(p * (1 - p) / gesamt))
nenner = 1 + z ** 2 / gesamt
mitte = (p + z ** 2 / (2 * gesamt)) / nenner
halb = z * np.sqrt(p * (1 - p) / gesamt + z ** 2 / (4 * gesamt ** 2)) / nenner
wilson = (mitte - halb, mitte + halb)
exakt = (stats.beta.ppf(0.025, treffer, gesamt - treffer + 1),
stats.beta.ppf(0.975, treffer + 1, gesamt - treffer))
print(pd.DataFrame([wald, wilson, exakt],
index=["Wald", "Wilson", "exakt"],
columns=["unten", "oben"]).round(4)) unten oben
Wald -0.0066 0.1566
Wilson 0.0258 0.1986
exakt 0.0157 0.2039| Verfahren | Intervall | Breite | Wie es zu lesen ist |
|---|---|---|---|
| Wald | -0.007 bis 0.157 | 0.163 | Die untere Grenze ist negativ. Ein negativer Fehleranteil existiert nicht; die Formel weiss das nicht. |
| Wilson | 0.026 bis 0.199 | 0.173 | Bleibt im zulässigen Bereich und ist auch bei kleinen Anteilen zuverlässig. |
| Clopper-Pearson (exakt) | 0.016 bis 0.204 | 0.188 | Das breiteste. “Exakt” heisst hier: Es hält das Niveau garantiert ein, tut das aber, indem es eher zu breit ist. |
Der Vergleich über verschiedene Ausgangslagen zeigt, wann der Unterschied zählt:
| Beobachtung | Wald | Wilson | exakt |
|---|---|---|---|
| 3 von 40 (7.5 %) | -0.007 bis 0.157 | 0.026 bis 0.199 | 0.016 bis 0.204 |
| 8 von 40 (20 %) | 0.076 bis 0.324 | 0.105 bis 0.348 | 0.091 bis 0.357 |
| 20 von 40 (50 %) | 0.345 bis 0.655 | 0.352 bis 0.648 | 0.338 bis 0.662 |
| 45 von 300 (15 %) | 0.110 bis 0.190 | 0.114 bis 0.195 | 0.112 bis 0.196 |
Bei einem Anteil nahe 50 Prozent und bei grossem n stimmen alle drei praktisch überein. Nahe 0 oder 1 und bei kleinem n gehen sie auseinander, und dort ist Wald unbrauchbar.
Die Wald-Formel steht in jedem Lehrbuch und sollte trotzdem nicht verwendet werden. Sie unterschreitet das versprochene Niveau von 95 Prozent regelmässig, und zwar nicht nur bei extremen Anteilen. Ihre Beliebtheit rührt daher, dass sie sich von Hand rechnen lässt.
Empfohlen ist Wilson für den Normalfall und Clopper-Pearson, wenn das Niveau garantiert eingehalten werden muss. In R liefert prop.test() Wilson und binom.test() Clopper-Pearson; beide sind eine Zeile.
Von 40 geprüften Teilen waren 3 fehlerhaft (7.5 Prozent, 95-Prozent- Konfidenzintervall nach Wilson 2.6 bis 19.9 Prozent). Das Intervall ist bei diesem Umfang sehr breit; für eine Aussage über die Einhaltung einer Fehlergrenze von 10 Prozent reicht die Datenlage nicht.
Die verbreitete Formulierung “der wahre Wert liegt mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit im Intervall” ist falsch. Was stimmt, lässt sich am besten zeigen, indem man die Erhebung hundertmal wiederholt.
Hier ist der wahre Mittelwert bekannt: 250 Gramm bei einer Streuung von 1.2. Aus dieser Grundgesamtheit werden hundert Stichproben zu je zwanzig Packungen gezogen, und für jede wird das Intervall berechnet.
# normalwerte() und lehmer() stehen im Setup-Chunk
gewichte <- normalwerte(42, 2000, mittel = 250, streuung = 1.2)
stichproben <- matrix(gewichte, nrow = 100, ncol = 20, byrow = TRUE)
mittel_i <- rowMeans(stichproben)
sd_i <- apply(stichproben, 1, sd)
halb_i <- qt(0.975, 19) * sd_i / sqrt(20)
unten_i <- mittel_i - halb_i
oben_i <- mittel_i + halb_i
trifft <- unten_i <= 250 & 250 <= oben_i
par(mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(NULL, xlim = range(c(unten_i, oben_i)), ylim = c(0, 101),
xlab = "Füllgewicht (g)", ylab = "Stichprobe",
main = paste("100 Intervalle,", sum(trifft), "enthalten den wahren Wert"))
segments(unten_i, 1:100, oben_i, 1:100,
col = ifelse(trifft, "grey60", "firebrick"), lwd = 1.5)
abline(v = 250, lwd = 2, col = "steelblue")
cat("getroffen:", sum(trifft), "von 100\n")getroffen: 94 von 100cat("mittlere Breite:", round(mean(oben_i - unten_i), 4), "\n")mittlere Breite: 1.1221 
# normalwerte() und lehmer() stehen im Setup-Chunk
gewichte = normalwerte(42, 2000, mittel=250, streuung=1.2)
stichproben = gewichte.reshape(100, 20)
mittel_i = stichproben.mean(axis=1)
sd_i = stichproben.std(axis=1, ddof=1)
halb_i = stats.t.ppf(0.975, 19) * sd_i / np.sqrt(20)
unten_i, oben_i = mittel_i - halb_i, mittel_i + halb_i
trifft = (unten_i <= 250) & (250 <= oben_i)
fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 4.0))
for k in range(100):
achse.plot([unten_i[k], oben_i[k]], [k + 1, k + 1],
color="0.6" if trifft[k] else "firebrick", linewidth=1.5)
achse.axvline(250, linewidth=2, color="steelblue")
achse.set_xlabel("Füllgewicht (g)")
achse.set_ylabel("Stichprobe")
achse.set_title(f"100 Intervalle, {trifft.sum()} enthalten den wahren Wert")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("getroffen:", int(trifft.sum()), "von 100")getroffen: 94 von 100print("mittlere Breite:", round(float((oben_i - unten_i).mean()), 4))mittlere Breite: 1.1221| Ausgabe | Wert hier | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
| getroffene Intervalle | 94 von 100 | Nahe an den erwarteten 95. Die Abweichung ist Zufall: Bei hundert Wiederholungen schwankt die Zahl um 95 mit einer Standardabweichung von rund 2.2. |
| verfehlte Intervalle | 6 | Im Bild rot. Sie sind nicht falsch gerechnet, sondern die vorgesehene Ausnahme. |
| mittlere Breite | 1.122 | Die Intervalle sind verschieden breit, weil jede Stichprobe eine eigene Standardabweichung liefert. |
Das Bild zeigt den entscheidenden Punkt: Die Intervalle wandern, der wahre Wert steht fest. Die blaue Linie bei 250 ist unverrückbar; was von Stichprobe zu Stichprobe schwankt, sind Lage und Breite der Intervalle.
Deshalb ist die Aussage “mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Wert in diesem Intervall” falsch. Der wahre Wert ist eine feste Zahl. Er liegt im berechneten Intervall oder nicht; eine Wahrscheinlichkeit gibt es dafür nicht.
Was stimmt: Das Verfahren trifft in 95 Prozent der Anwendungen. Die Aussage gilt der Methode, nicht dem einzelnen Ergebnis.
Praktisch macht das selten einen Unterschied in der Entscheidung, wohl aber in der Formulierung. Eine zulässige Kurzform lautet: “Mit den Daten vereinbar sind Werte zwischen 249.4 und 250.4 Gramm.”
Der zweite Punkt, den das Bild zeigt: Die verfehlten Intervalle sehen nicht anders aus als die getroffenen. Sie sind nicht auffällig schmal oder auffällig weit verschoben. Es gibt kein Merkmal, an dem sich einem einzelnen Intervall ansehen liesse, ob es zu den 95 oder zu den 5 Prozent gehört.
Das Intervall aus Beispiel 1 ist rund ein Gramm breit. Was kostet es, es auf ein halbes Gramm zu bringen?
sigma <- 1.2
umfaenge <- seq(5, 320, by = 5)
halbbreiten <- qt(0.975, umfaenge - 1) * sigma / sqrt(umfaenge)
par(mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(umfaenge, halbbreiten, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
xlab = "n", ylab = "Halbbreite (g)",
main = "Genauigkeit und Stichprobenumfang")
abline(h = c(0.5, 0.25), lty = 2, col = "firebrick")
for (nn in c(10, 20, 40, 80, 160, 320)) {
cat(sprintf("n = %3d: Halbbreite = %.4f g\n",
nn, qt(0.975, nn - 1) * sigma / sqrt(nn)))
}n = 10: Halbbreite = 0.8584 g
n = 20: Halbbreite = 0.5616 g
n = 40: Halbbreite = 0.3838 g
n = 80: Halbbreite = 0.2670 g
n = 160: Halbbreite = 0.1874 g
n = 320: Halbbreite = 0.1320 g
sigma = 1.2
umfaenge = np.arange(5, 325, 5)
halbbreiten = stats.t.ppf(0.975, umfaenge - 1) * sigma / np.sqrt(umfaenge)
fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.4))
achse.plot(umfaenge, halbbreiten, color="steelblue", linewidth=2)
for h in (0.5, 0.25):
achse.axhline(h, linestyle="--", color="firebrick")
achse.set_xlabel("n")
achse.set_ylabel("Halbbreite (g)")
achse.set_title("Genauigkeit und Stichprobenumfang")
plt.tight_layout()
plt.show()
for nn in (10, 20, 40, 80, 160, 320):
h = stats.t.ppf(0.975, nn - 1) * sigma / np.sqrt(nn)
print(f"n = {nn:3d}: Halbbreite = {h:.4f} g")n = 10: Halbbreite = 0.8584 g
n = 20: Halbbreite = 0.5616 g
n = 40: Halbbreite = 0.3838 g
n = 80: Halbbreite = 0.2670 g
n = 160: Halbbreite = 0.1874 g
n = 320: Halbbreite = 0.1320 g| n | Halbbreite | Verhältnis zum vorigen |
|---|---|---|
| 10 | 0.858 g | |
| 20 | 0.562 g | 0.65 |
| 40 | 0.384 g | 0.68 |
| 80 | 0.267 g | 0.70 |
| 160 | 0.187 g | 0.70 |
| 320 | 0.132 g | 0.71 |
Das Verhältnis nähert sich \(1/\sqrt{2} = 0.707\): Eine Verdoppelung des Umfangs verkleinert das Intervall um rund 29 Prozent, eine Halbierung der Breite verlangt viermal so viele Beobachtungen.
Von 20 auf 80 Packungen, also das Vierfache, halbiert die Halbbreite von 0.56 auf 0.27 Gramm. Die Kurve fällt anfangs steil und wird dann flach; jenseits von etwa hundert Beobachtungen bringt jede weitere spürbar weniger.
Das ist die Kehrseite derselben Wurzel, die auf der Seite zur Power den Stichprobenumfang treibt. Beide Male steht \(\sqrt{n}\) im Nenner, und beide Male folgt daraus dasselbe: Genauigkeit ist teuer, und der Preis steigt quadratisch.
Wer ein Intervall bestimmter Breite braucht, kann den Umfang direkt planen. Für eine Halbbreite \(h\) gilt näherungsweise \(n \approx (1.96 \cdot \sigma / h)^2\); für \(\sigma\) = 1.2 und \(h\) = 0.25 ergibt das rund 89 Beobachtungen.
Die Planung über die Intervallbreite ist der Powerrechnung oft vorzuziehen, weil sie eine inhaltlich fassbare Grösse verwendet: “Wir wollen das mittlere Füllgewicht auf ein Viertelgramm genau kennen” ist eine Vorgabe, über die sich mit Fachleuten sprechen lässt. “Wir wollen einen Effekt von d = 0.5 mit 80 Prozent Wahrscheinlichkeit finden” ist es weniger.
Bei einer angenommenen Streuung von 1.2 g und einer angestrebten Halbbreite von 0.25 g werden rund 89 Packungen benötigt. Mit den vorliegenden 20 Packungen beträgt die Halbbreite 0.53 g.
Warum wird ein Konfidenzintervall breiter, wenn man von 95 auf 99 Prozent Niveau geht?
Eine Umfrage berichtet 52 Prozent Zustimmung mit einem Intervall von 49 bis 55 Prozent. Was folgt für die Frage, ob die Mehrheit zustimmt?
In ?@fig-ueberdeckung-r sind hundert Konfidenzintervalle gezeichnet, einige verfehlen den wahren Wert. Was zeigt das Bild?
Eine Auswertung berichtet den Mittelwert mit der Standardabweichung, eine zweite denselben Mittelwert mit dem Standardfehler. Welche Zahl ist grösser?