Zufallsvariablen

Erwartungswert, Varianz und Verteilungsfunktion als Grundbegriffe.

Kernideen

• Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung des Ergebnisraums auf Zahlen, sie macht den Zufall der Arithmetik zugänglich.
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt jedem Wert seine Wahrscheinlichkeit, die Verteilungsfunktion summiert sie von unten auf.
• Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und muss selbst kein möglicher Wert sein.
• Varianz und Standardabweichung beschreiben die Streuung des Modells.
• Kennzahl aus Daten und Eigenschaft des Modells sind zweierlei, das eine schätzt das andere.
• Die Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz sind verschieden: \(E\) ist immer linear, \(\text{Var}\) nicht.

Erklärung

Vorwissen: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit für den Wahrscheinlichkeitsbegriff und bedingte Wahrscheinlichkeit für die Unabhängigkeit. Aus den Lage- und Streuungsmassen wird der Unterschied zwischen einer Kennzahl aus Daten und einer Eigenschaft des Modells gebraucht. Die konkreten Modelle folgen unter diskrete Verteilungen und stetige Verteilungen.

Vom Ereignis zur Zahl

In Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit waren Ereignisse noch sprachlich beschrieben, etwa “mindestens eine Sechs”. Damit lässt sich argumentieren, aber schlecht rechnen. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu.

Begriff	Schreibweise	Was er beschreibt
Ergebnisraum	\(\Omega\)	alle möglichen Ausgänge des Zufallsvorgangs
Zufallsvariable	\(X: \Omega \to \mathbb{R}\)	die Zuordnung einer Zahl zu jedem Ausgang
Wahrscheinlichkeitsfunktion	\(P(X = x)\)	wie wahrscheinlich ein bestimmter Wert ist
Verteilungsfunktion	\(F(x) = P(X \le x)\)	wie wahrscheinlich höchstens dieser Wert ist

Der Zusammenhang zwischen den beiden letzten ist derselbe wie zwischen relativer und kumulierter Häufigkeit, nur im Modell statt in Daten.

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist das mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte, die Varianz die gewichtete mittlere quadrierte Abweichung davon:

\[E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \qquad \text{Var}(X) = \sum_i (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)\]

Der Erwartungswert ist der Wert, gegen den das arithmetische Mittel bei sehr vielen Wiederholungen strebt. Er muss selbst kein möglicher Wert sein, der Erwartungswert eines Würfels ist 3.5.

Die Rechenregeln

Sie sehen sich ähnlich und verhalten sich verschieden:

Regel	Erwartungswert	Varianz
Konstante addieren	\(E(X + b) = E(X) + b\)	\(\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)\)
Mit Konstante multiplizieren	\(E(aX) = a \, E(X)\)	\(\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)\)
Summe zweier Variablen	\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\), immer	\(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\), nur bei Unabhängigkeit

Drei Punkte, die daraus folgen und regelmässig verwechselt werden:

1. Verschieben ändert die Streuung nicht. Alle Werte um 10 erhöhen verschiebt den Schwerpunkt, nicht die Breite.
2. Strecken wirkt quadratisch auf die Varianz. Verdoppelt man alle Werte, vervierfacht sich die Varianz, die Standardabweichung verdoppelt sich.
3. Der Erwartungswert ist immer additiv, auch bei abhängigen Variablen. Die Varianz nicht: Bei Abhängigkeit kommt \(2\,\text{Cov}(X,Y)\) dazu.

Modell und Daten

Begrifflich streng zu trennen:

Aus dem Modell	Aus Daten
Erwartungswert \(E(X)\)	Mittelwert \(\bar{x}\)
Varianz \(\text{Var}(X)\)	empirische Varianz \(s^2\)
Verteilungsfunktion \(F(x)\)	empirische Verteilungsfunktion

Sie fallen nicht zusammen. Das eine schätzt das andere, und wie gut, hängt von der Anzahl Beobachtungen ab, Beispiel 2 zeigt es.

Beispiele

Beispiel 1: Die Augensumme zweier Würfel

Frage und Datenlage

Zwei Würfel, Zufallsvariable ist die Augensumme. Der Ergebnisraum hat 36 gleichwahrscheinliche Elemente, die Zufallsvariable nimmt elf Werte an und diese sind nicht gleich wahrscheinlich.

Rechnung

R

kombinationen <- expand.grid(wurf1 = 1:6, wurf2 = 1:6)
summe <- kombinationen$wurf1 + kombinationen$wurf2

table(summe)                        # wie viele Kombinationen je Summe

summe
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 
 1  2  3  4  5  6  5  4  3  2  1 

round(prop.table(table(summe)), 4)  # die Wahrscheinlichkeitsfunktion

summe
     2      3      4      5      6      7      8      9     10     11     12 
0.0278 0.0556 0.0833 0.1111 0.1389 0.1667 0.1389 0.1111 0.0833 0.0556 0.0278 

round(cumsum(prop.table(table(summe))), 4)   # die Verteilungsfunktion

     2      3      4      5      6      7      8      9     10     11     12 
0.0278 0.0833 0.1667 0.2778 0.4167 0.5833 0.7222 0.8333 0.9167 0.9722 1.0000 

werte <- as.numeric(names(table(summe)))
p <- as.numeric(prop.table(table(summe)))

par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(werte, p, type = "h", lwd = 6, col = "grey60", ylim = c(0, 0.2),
     xlab = "Augensumme", ylab = "P(X = x)", main = "Wahrscheinlichkeit")
plot(werte, cumsum(p), type = "s", lwd = 2, ylim = c(0, 1),
     xlab = "Augensumme", ylab = "F(x)", main = "Verteilungsfunktion")
par(mfrow = c(1, 1))

Abbildung 1: Beispiel 1: links die Wahrscheinlichkeitsfunktion, rechts die Verteilungsfunktion.

Python

summe = np.array([a + b for a, b in product(range(1, 7), repeat=2)])
werte, anzahl = np.unique(summe, return_counts=True)
p = anzahl / len(summe)

print(dict(zip(werte.tolist(), anzahl.tolist())))

{2: 1, 3: 2, 4: 3, 5: 4, 6: 5, 7: 6, 8: 5, 9: 4, 10: 3, 11: 2, 12: 1}

print(dict(zip(werte.tolist(), p.round(4).tolist())))

{2: 0.0278, 3: 0.0556, 4: 0.0833, 5: 0.1111, 6: 0.1389, 7: 0.1667, 8: 0.1389, 9: 0.1111, 10: 0.0833, 11: 0.0556, 12: 0.0278}

print(np.cumsum(p).round(4))

[0.0278 0.0833 0.1667 0.2778 0.4167 0.5833 0.7222 0.8333 0.9167 0.9722
 1.    ]

fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.2))
achsen[0].vlines(werte, 0, p, lw=6, color="0.6")
achsen[0].set_ylim(0, 0.2)

(0.0, 0.2)

achsen[0].set_xlabel("Augensumme")
achsen[0].set_ylabel("P(X = x)")
achsen[0].set_title("Wahrscheinlichkeit")
achsen[1].step(werte, np.cumsum(p), where="post", lw=2, color="black")
achsen[1].set_ylim(0, 1)

(0.0, 1.0)

achsen[1].set_xlabel("Augensumme")
achsen[1].set_ylabel("F(x)")
achsen[1].set_title("Verteilungsfunktion")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 2: Beispiel 1: dieselben beiden Funktionen in Python.

Output Zeile für Zeile

Augensumme	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Kombinationen	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
\(P(X = x)\)	0.028	0.056	0.083	0.111	0.139	0.167	0.139	0.111	0.083	0.056	0.028
\(F(x)\)	0.028	0.083	0.167	0.278	0.417	0.583	0.722	0.833	0.917	0.972	1.000

Ausgabe	Wie sie zu lesen ist
Die Kombinationen summieren sich zu 36	Alle Ausgänge sind gleich wahrscheinlich; ungleich wird erst die Summe, weil es für die 7 sechs Wege gibt und für die 2 nur einen.
\(P(X = 7) = 6/36 = 0.167\)	Die 7 ist die wahrscheinlichste Augensumme, sechsmal so wahrscheinlich wie die 2.
Die Funktion ist symmetrisch	\(P(X = 2) = P(X = 12)\), und so weiter. Das ist die Folge davon, dass beide Würfel dieselbe Verteilung haben.
\(F(7) = 0.583\)	Mit 58.3 Prozent Wahrscheinlichkeit fällt die Summe höchstens 7.
\(F(12) = 1.000\)	Immer. Die Verteilungsfunktion endet definitionsgemäss bei eins.
Die Verteilungsfunktion ist eine Treppe	Sie springt an jedem möglichen Wert um dessen Wahrscheinlichkeit und ist dazwischen konstant. Bei stetigen Zufallsvariablen wird daraus eine glatte Kurve.

Was die Verteilungsfunktion leistet, was die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht kann: Fragen der Form “höchstens”, “mindestens” und “zwischen” beantwortet sie durch Ablesen statt durch Summieren.

Frage	Rechnung
\(P(X \le 7)\)	\(F(7) = 0.583\)
\(P(X > 7)\)	\(1 - F(7) = 0.417\)
\(P(5 \le X \le 9)\)	\(F(9) - F(4) = 0.833 - 0.167 = 0.667\)

Beim letzten Fall ist die Falle: Abgezogen wird \(F(4)\), nicht \(F(5)\), sonst fällt die 5 selbst mit heraus.

Interpretation

Die Zufallsvariable hat den Ergebnisraum von 36 auf elf Werte verdichtet. Das ist der Zweck: Aus einer Liste von Ausgängen wird eine Verteilung, mit der sich rechnen lässt.

Beispiel 2: Erwartungswert, Varianz und die Gegenprobe

Frage und Datenlage

Erwartungswert und Varianz der Augensumme, einmal exakt aus dem Modell und einmal aus 200 000 simulierten Würfen. Wie nahe kommen sich die beiden, und wie schnell?

Rechnung

R

ew <- sum(werte * p)
varianz <- sum((werte - ew)^2 * p)

round(c(erwartungswert = ew, varianz = varianz,
        standardabweichung = sqrt(varianz)), 4)

    erwartungswert            varianz standardabweichung 
            7.0000             5.8333             2.4152 

# Gegenprobe: 200000 simulierte Wuerfe aus dem Kongruenzgenerator
n <- 200000
u <- lehmer(9911, 2 * n)
wuerfe <- matrix(floor(6 * u) + 1, ncol = 2, byrow = TRUE)
sim <- rowSums(wuerfe)

round(c(mittel = mean(sim), varianz = var(sim)), 4)

 mittel varianz 
 7.0094  5.8303 

# Wie schnell naehert sich der Mittelwert dem Erwartungswert?
for (k in c(100, 1000, 10000, 100000, 200000)) {
  cat(sprintf("n = %6d | Mittel %.4f | Abweichung %.4f\n",
              k, mean(sim[1:k]), abs(mean(sim[1:k]) - ew)))
}

n =    100 | Mittel 6.8800 | Abweichung 0.1200
n =   1000 | Mittel 6.8450 | Abweichung 0.1550
n =  10000 | Mittel 6.9771 | Abweichung 0.0229
n = 100000 | Mittel 7.0087 | Abweichung 0.0087
n = 200000 | Mittel 7.0094 | Abweichung 0.0094

Python

ew = float((werte * p).sum())
varianz = float(((werte - ew) ** 2 * p).sum())

print({"erwartungswert": round(ew, 4), "varianz": round(varianz, 4),
       "standardabweichung": round(np.sqrt(varianz), 4)})

{'erwartungswert': 7.0, 'varianz': 5.8333, 'standardabweichung': np.float64(2.4152)}

n = 200000
u = lehmer(9911, 2 * n)
wuerfe = (np.floor(6 * u) + 1).astype(int).reshape(n, 2)
sim = wuerfe.sum(axis=1)

print({"mittel": round(float(sim.mean()), 4),
       "varianz": round(float(sim.var(ddof=1)), 4)})

{'mittel': 7.0094, 'varianz': 5.8303}

for k in [100, 1000, 10000, 100000, 200000]:
    mittel = sim[:k].mean()
    print(f"n = {k:6d} | Mittel {mittel:.4f} | Abweichung {abs(mittel - ew):.4f}")

n =    100 | Mittel 6.8800 | Abweichung 0.1200
n =   1000 | Mittel 6.8450 | Abweichung 0.1550
n =  10000 | Mittel 6.9771 | Abweichung 0.0229
n = 100000 | Mittel 7.0087 | Abweichung 0.0087
n = 200000 | Mittel 7.0094 | Abweichung 0.0094

Output Zeile für Zeile

Grösse	aus dem Modell	aus 200 000 Würfen
Erwartungswert / Mittelwert	7.0000	7.0094
Varianz	5.8333	5.8303
Standardabweichung	2.4152	2.4146

Und die Annäherung mit wachsender Anzahl:

n	Mittelwert	Abweichung von 7
100	6.8800	0.1200
1 000	6.8450	0.1550
10 000	6.9771	0.0229
100 000	7.0087	0.0087
200 000	7.0094	0.0094

Beobachtung	Erklärung
Der Erwartungswert ist exakt 7	Kein Rundungsergebnis: Die Verteilung ist symmetrisch um 7, und der Schwerpunkt einer symmetrischen Verteilung ist ihr Symmetriepunkt.
Die Varianz ist \(35/6 = 5.8\overline{3}\)	Auch exakt. Für einen Würfel allein beträgt sie \(35/12\); bei zwei unabhängigen Würfeln addieren sich die Varianzen.
Die Abweichung von 1000 auf 10 000 fällt um den Faktor 7	Nicht monoton, bei \(n = 1000\) war sie zufällig grösser als bei 100. Erwartet wird ein Abfall mit \(1/\sqrt{n}\), also von 100 auf 10 000 um den Faktor 10.
Bei 200 000 Würfen bleiben 0.0094 übrig	Das ist kein Fehler der Simulation, sondern der Rest an Zufall. Der Standardfehler beträgt \(2.415/\sqrt{200000} = 0.0054\); die beobachtete Abweichung liegt in dieser Grössenordnung.

Was dieser Vergleich zeigt und was nicht. Er zeigt das Gesetz der grossen Zahlen: Der Mittelwert nähert sich dem Erwartungswert. Er zeigt nicht, dass die beiden dasselbe sind.

Der Unterschied ist der Kern der schliessenden Statistik: Man hat nie den Erwartungswert, sondern immer nur einen Mittelwert aus endlich vielen Beobachtungen und die Frage, wie weit der danebenliegen kann, führt direkt zum Konfidenzintervall.

Und ein Detail zur Simulation: var(sim) in R teilt durch \(n-1\), die Modellvarianz nicht durch irgendetwas. Bei 200 000 Werten ist der Unterschied unsichtbar; bei kleinen Stichproben ist er genau die Bessel-Korrektur.

Interpretation und Ergebnissatz

Die Augensumme zweier Würfel hat den Erwartungswert 7 und die Varianz 5.83 (Standardabweichung 2.42). Eine Simulation über 200 000 Würfe ergibt einen Mittelwert von 7.009 und eine empirische Varianz von 5.830.

Beispiel 3: Die Rechenregeln nachgerechnet

Frage und Datenlage

Ein einzelner Würfel, \(E(X) = 3.5\) und \(\text{Var}(X) = 35/12 = 2.9167\). Was passiert bei Verschiebung, Streckung und Summierung?

Rechnung

R

x <- 1:6
px <- rep(1 / 6, 6)

kennzahlen <- function(werte, wkeit) {
  e <- sum(werte * wkeit)
  c(erwartungswert = e, varianz = sum((werte - e)^2 * wkeit))
}

round(rbind(
  "X (ein Wuerfel)" = kennzahlen(x, px),
  "X + 10"          = kennzahlen(x + 10, px),
  "2X"              = kennzahlen(2 * x, px),
  "2X - 1"          = kennzahlen(2 * x - 1, px)
), 4)

                erwartungswert varianz
X (ein Wuerfel)            3.5  2.9167
X + 10                    13.5  2.9167
2X                         7.0 11.6667
2X - 1                     6.0 11.6667

# Summe zweier unabhaengiger Wuerfel: addieren sich die Varianzen?
round(c(zwei_mal_einzeln = 2 * kennzahlen(x, px)["varianz"],
        summe_direkt = varianz), 4)

zwei_mal_einzeln.varianz             summe_direkt 
                  5.8333                   5.8333 

# Und wenn sie nicht unabhaengig sind: Y = X, also perfekt abhaengig
round(kennzahlen(2 * x, px), 4)   # X + Y mit Y = X ist dasselbe wie 2X

erwartungswert        varianz 
        7.0000        11.6667 

Python

x = np.arange(1, 7, dtype=float)
px = np.full(6, 1 / 6)


def kennzahlen(werte, wkeit):
    e = float((werte * wkeit).sum())
    return {"erwartungswert": e,
            "varianz": float(((werte - e) ** 2 * wkeit).sum())}


print(pd.DataFrame([kennzahlen(x, px), kennzahlen(x + 10, px),
                    kennzahlen(2 * x, px), kennzahlen(2 * x - 1, px)],
                   index=["X (ein Würfel)", "X + 10", "2X", "2X - 1"]).round(4))

                erwartungswert  varianz
X (ein Würfel)             3.5   2.9167
X + 10                    13.5   2.9167
2X                         7.0  11.6667
2X - 1                     6.0  11.6667

print({"zwei_mal_einzeln": round(2 * kennzahlen(x, px)["varianz"], 4),
       "summe_direkt": round(varianz, 4)})

{'zwei_mal_einzeln': 5.8333, 'summe_direkt': 5.8333}

print(kennzahlen(2 * x, px))

{'erwartungswert': 7.0, 'varianz': 11.666666666666666}

Output Zeile für Zeile

Variable	Erwartungswert	Varianz	Regel
\(X\) (ein Würfel)	3.5000	2.9167
\(X + 10\)	13.5000	2.9167	\(E\) verschiebt sich, \(\text{Var}\) nicht
\(2X\)	7.0000	11.6667	\(E\) verdoppelt sich, \(\text{Var}\) vervierfacht sich
\(2X - 1\)	6.0000	11.6667	beide Regeln zusammen

Beobachtung	Erklärung
\(X + 10\): die Varianz bleibt exakt gleich	Eine Verschiebung ändert alle Abweichungen vom Mittel nicht, sie verschiebt Werte und Schwerpunkt um denselben Betrag.
\(2X\): die Varianz wird viermal so gross	Weil sie quadrierte Abweichungen misst: \((2a)^2 = 4a^2\). Die Standardabweichung verdoppelt sich, wie erwartet.
\(2X\) und “zwei Würfel” haben denselben Erwartungswert	Beide 7. Die Additivität des Erwartungswerts gilt unabhängig davon, ob die Variablen zusammenhängen.
Aber verschiedene Varianzen	\(2X\) hat 11.67, die Summe zweier unabhängiger Würfel 5.83, genau die Hälfte, also \(2 \cdot 2.9167\).

Der Unterschied zwischen “zweimal derselbe Würfel” und “zwei Würfel” ist der Kern der ganzen Varianzrechnung.

	\(2X\) (ein Würfel, verdoppelt)	\(X + Y\) (zwei unabhängige Würfel)
Erwartungswert	7	7
Varianz	\(4 \cdot 2.9167 = 11.67\)	\(2 \cdot 2.9167 = 5.83\)
mögliche Werte	2, 4, 6, 8, 10, 12	2 bis 12, alle
Warum	Die Abweichungen verstärken sich immer gemeinsam.	Sie gleichen sich teilweise aus.

Genau dieser Ausgleich ist der Grund, warum der Standardfehler eines Mittelwerts mit \(\sqrt{n}\) und nicht mit \(n\) kleiner wird: Der Mittelwert aus \(n\) unabhängigen Werten hat die Varianz \(\sigma^2/n\), also die Standardabweichung \(\sigma/\sqrt{n}\).

Und daraus folgt der wichtigste praktische Satz: Bei abhängigen Beobachtungen gilt das nicht. Kommt \(2\,\text{Cov}(X,Y)\) dazu, ist der Standardfehler zu klein gerechnet, der Grund, warum Zeitreihen und geschachtelte Daten eigene Verfahren brauchen.

Interpretation und Ergebnissatz

Eine Verschiebung um 10 erhöht den Erwartungswert um 10 und lässt die Varianz unverändert (2.9167). Eine Streckung um den Faktor 2 verdoppelt den Erwartungswert und vervierfacht die Varianz (11.6667).

Beispiel 4: Ein Erwartungswert, den niemand erlebt

Frage und Datenlage

Eine Versicherung kalkuliert eine Police. Der Jahresschaden je Vertrag ist eine Zufallsvariable mit vier möglichen Werten:

Schaden	0	500	5 000	50 000
Wahrscheinlichkeit	0.930	0.050	0.018	0.002

Wie hoch muss die Prämie sein und was sagt der Erwartungswert über den Einzelfall?

Rechnung

R

schaden <- c(0, 500, 5000, 50000)
wkeit <- c(0.930, 0.050, 0.018, 0.002)

sum(wkeit)                       # muss eins ergeben

[1] 1

kennz <- kennzahlen(schaden, wkeit)
round(c(kennz, standardabweichung = sqrt(kennz["varianz"])), 2)

            erwartungswert                    varianz 
                    215.00                 5416275.00 
standardabweichung.varianz 
                   2327.29 

round(c(praemie_mit_20_prozent = kennz["erwartungswert"] * 1.2,
        anteil_ohne_schaden = wkeit[1],
        anteil_ueber_praemie = sum(wkeit[-1])), 4)

praemie_mit_20_prozent.erwartungswert                   anteil_ohne_schaden 
                               258.00                                  0.93 
                 anteil_ueber_praemie 
                                 0.07 

# Was passiert bei 10000 unabhaengigen Vertraegen?
n_vertraege <- 10000
round(c(erwartete_summe = n_vertraege * kennz["erwartungswert"],
        sd_der_summe = sqrt(n_vertraege * kennz["varianz"]),
        sd_je_vertrag = sqrt(kennz["varianz"] / n_vertraege)), 2)

erwartete_summe.erwartungswert           sd_der_summe.varianz 
                    2150000.00                      232728.92 
         sd_je_vertrag.varianz 
                         23.27 

Python

schaden = np.array([0, 500, 5000, 50000], dtype=float)
wkeit = np.array([0.930, 0.050, 0.018, 0.002])

print("Summe der Wahrscheinlichkeiten:", wkeit.sum())

Summe der Wahrscheinlichkeiten: 1.0

kennz = kennzahlen(schaden, wkeit)
print({**{k: round(v, 2) for k, v in kennz.items()},
       "standardabweichung": round(np.sqrt(kennz["varianz"]), 2)})

{'erwartungswert': 215.0, 'varianz': 5416275.0, 'standardabweichung': np.float64(2327.29)}

print({"praemie_mit_20_prozent": round(kennz["erwartungswert"] * 1.2, 2),
       "anteil_ohne_schaden": wkeit[0],
       "anteil_ueber_praemie": round(wkeit[1:].sum(), 4)})

{'praemie_mit_20_prozent': 258.0, 'anteil_ohne_schaden': np.float64(0.93), 'anteil_ueber_praemie': np.float64(0.07)}

n_vertraege = 10000
print({"erwartete_summe": round(n_vertraege * kennz["erwartungswert"], 2),
       "sd_der_summe": round(np.sqrt(n_vertraege * kennz["varianz"]), 2),
       "sd_je_vertrag": round(np.sqrt(kennz["varianz"] / n_vertraege), 2)})

{'erwartete_summe': 2150000.0, 'sd_der_summe': np.float64(232728.92), 'sd_je_vertrag': np.float64(23.27)}

Output Zeile für Zeile

Grösse	Wert	Wie sie zu lesen ist
Erwartungswert	215.00	Der mittlere Jahresschaden je Vertrag.
Standardabweichung	2 327.29	Mehr als das Zehnfache des Erwartungswerts.
Prämie mit 20 Prozent Zuschlag	258.00
Anteil ohne jeden Schaden	93.0 %
Anteil mit Schaden über der Prämie	7.0 %

Beobachtung	Erklärung
Kein einziger Vertrag erlebt 215 Franken Schaden	Der Erwartungswert ist keiner der vier möglichen Werte. Er beschreibt den Durchschnitt über viele Verträge, nicht einen Einzelfall.
93 Prozent zahlen und bekommen nichts	Und 0.2 Prozent bekommen das Zweihundertfache ihrer Prämie. Genau das ist Versicherung.
Die Standardabweichung von 2 327 ist zehnmal so gross wie der Erwartungswert	Der Grund ist der eine seltene Grossschaden: Er trägt \(0.002 \cdot (50000-215)^2 = 4.96\) Millionen zur Varianz von 5.42 Millionen bei, also 91 Prozent.
Bei 10 000 Verträgen	erwartete Schadensumme 2.15 Millionen, Standardabweichung der Summe 232 730, also nur 11 Prozent der Summe.
Je Vertrag gerechnet	sinkt die Standardabweichung von 2 327 auf 23.27

Warum ein Erwartungswert allein für eine Entscheidung nicht genügt, in drei Fällen:

Fall	Warum
Einzelfall statt Wiederholung	Wer eine Police einmal kauft, erlebt entweder 0 oder 50 000, nie 215.
Sehr schiefe Verteilung	Der Erwartungswert liegt hier zwischen dem 93. und dem 98. Perzentil. Der Median des Schadens ist 0.
Begrenzte Verlusttragfähigkeit	Ein Unternehmen, das 50 000 nicht verkraftet, kann sich an einem positiven Erwartungswert nicht orientieren.

Deshalb gehört zu jedem Erwartungswert die Streuung und bei stark schiefen Verteilungen zusätzlich ein Quantil, etwa der Wert, der in 99 Prozent der Fälle nicht überschritten wird.

Interpretation und Ergebnissatz

Der erwartete Jahresschaden je Vertrag beträgt 215 Franken bei einer Standardabweichung von 2 327 Franken; 93 Prozent der Verträge verursachen keinen Schaden. Über 10 000 unabhängige Verträge sinkt die Standardabweichung je Vertrag auf 23 Franken, weshalb ein Zuschlag von 20 Prozent auf den Erwartungswert die Schwankung abdeckt.

Verständnisfragen

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beträgt 3.5, aber die Variable kann nur ganzzahlige Werte annehmen. Ist das ein Widerspruch?

Nein, der Erwartungswert muss kein möglicher Wert sein

Richtig. Er ist der Schwerpunkt der Verteilung, also ein gewichteter Durchschnitt. Bei einem Würfel liegt er genau zwischen 3 und 4.

Ja, ein Erwartungswert muss vorkommen können

Er beschreibt den Durchschnitt über viele Wiederholungen, nicht einen Einzelfall.

Nur bei diskreten Variablen ist das erlaubt

Es gilt allgemein.

Alle Werte einer Zufallsvariablen werden um 10 erhöht. Was passiert mit Erwartungswert und Varianz?

Der Erwartungswert steigt um 10, die Varianz bleibt gleich

Richtig. Eine Verschiebung ändert die Abweichungen vom Mittel nicht, weil sich Werte und Schwerpunkt gemeinsam verschieben.

Beide steigen um 10

Die Varianz misst Streuung, nicht Lage.

Beide bleiben gleich

Der Erwartungswert verschiebt sich mit.

Warum hat \(2X\) eine viermal so grosse Varianz wie \(X\), die Summe zweier unabhängiger Würfel aber nur eine doppelt so grosse?

Bei \(2X\) verstärken sich die Abweichungen immer gemeinsam, bei zwei Würfeln gleichen sie sich teilweise aus

Richtig. Deshalb gilt \(\text{Var}(2X) = 4\,\text{Var}(X)\), aber \(\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\) bei Unabhängigkeit. Genau dieser Ausgleich erzeugt den Faktor Wurzel n beim Standardfehler.

Weil zwei Würfel mehr mögliche Werte haben

Die Anzahl möglicher Werte erklärt die Varianz nicht.

Weil bei \(2X\) falsch gerechnet wurde

Beide Rechnungen sind korrekt und beschreiben verschiedene Zufallsvariablen.

Eine Police hat einen erwarteten Schaden von 215 Franken bei einer Standardabweichung von 2 327. Was folgt für die Kalkulation?

Der Erwartungswert genügt nicht; über viele Verträge sinkt aber die relative Schwankung

Richtig. Bei 10 000 unabhängigen Verträgen fällt die Standardabweichung je Vertrag von 2 327 auf 23 Franken. Genau darauf beruht das Geschäftsmodell.

Die Prämie muss 2 327 Franken betragen

Das wäre die Streuung eines Einzelfalls, nicht der zu erwartende Aufwand.

Die Verteilung ist fehlerhaft, weil die Streuung grösser als der Mittelwert ist

Bei stark schiefen Verteilungen ist das normal.

Ein Mittelwert aus 200 000 Simulationen beträgt 7.0094, der Erwartungswert genau 7. Ist die Simulation fehlerhaft?

Nein, die Abweichung liegt im Bereich des Zufalls

Richtig. Der Standardfehler beträgt hier 2.42 geteilt durch die Wurzel aus 200 000, also 0.005. Eine Abweichung von 0.009 ist damit unauffällig.

Ja, bei so vielen Wiederholungen müsste 7.0000 herauskommen

Der Mittelwert nähert sich dem Erwartungswert an, erreicht ihn aber nicht exakt.

Ja, der Zufallszahlengenerator ist ungeeignet

Er ist einfach, für diesen Zweck aber ausreichend.

Verlinkte Ressourcen

• OpenIntro Statistics, Kapitel zu Zufallsvariablen
• Diskrete Verteilungen
• Stetige Verteilungen