sd() teilt durch \(n-1\), np.std() voreingestellt durch \(n\).Lage und Streuung beantworten zwei verschiedene Fragen: wo liegt die Verteilung, und wie breit ist sie. Zwei Datensätze mit identischem Mittelwert können völlig verschiedene Sachverhalte beschreiben, wenn ihre Streuung sich unterscheidet.
| Lagemass | ab Skalenniveau | robust | was es beschreibt |
|---|---|---|---|
| Modus | nominal | ja | die häufigste Ausprägung |
| Median | ordinal | ja | der Wert in der Mitte der sortierten Reihe |
| Arithmetisches Mittel | metrisch | nein | der Schwerpunkt der Werte |
Der Median teilt die sortierte Reihe in zwei gleich grosse Hälften. Bei ungerader Anzahl ist er der mittlere Wert, bei gerader das Mittel der beiden mittleren. Das arithmetische Mittel
\[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]
ist dagegen der Schwerpunkt: Die Summe der Abweichungen vom Mittel ist immer null. Genau diese Eigenschaft macht es empfindlich, denn ein weit entfernter Wert zieht den Schwerpunkt mit sich wie ein langer Hebel.
Daraus wird eine Merkregel, die sich rückwärts anwenden lässt. Wer nur zwei Zahlen hat und die Form nicht sieht, kann sie vergleichen:
| Beobachtung | Form der Verteilung | typisches Beispiel |
|---|---|---|
| Mittel grösser als Median | rechtsschief, langer Rand nach rechts | Löhne, Wartezeiten, Schadenshöhen |
| Mittel kleiner als Median | linksschief, langer Rand nach links | Prüfungsergebnisse bei leichter Prüfung |
| Mittel gleich Median | symmetrisch | Messfehler um einen Sollwert |
Das \(p\)-Quantil ist der Wert, unterhalb dessen ein Anteil \(p\) der Beobachtungen liegt. Der Median ist damit das 0.5-Quantil; die Quartile teilen die Daten in vier Viertel.
Ein Detail, über das man sonst stolpert: Es gibt neun verschiedene Definitionen, wie zwischen zwei Beobachtungen interpoliert wird. R verwendet standardmässig Typ 7 und NumPy und pandas rechnen mit derselben linearen Interpolation, sodass beide Sprachen hier ohne Zutun dasselbe Ergebnis liefern.
Auch hier gibt es die robuste und die empfindliche Familie.
| Mass | Formel | robust | Eigenschaften |
|---|---|---|---|
| Spannweite | Maximum minus Minimum | nein | nutzt nur zwei Werte, wächst systematisch mit \(n\), das instabilste Mass |
| Interquartilsabstand | \(Q_3 - Q_1\) | ja | umfasst die mittleren fünfzig Prozent, ignoriert die äusseren Viertel vollständig |
| Varianz | \(s^2 = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2\) | nein | in quadrierten Einheiten, deshalb nicht direkt lesbar |
| Standardabweichung | \(s = \sqrt{s^2}\) | nein | zurück in der Einheit der Daten; das Mass, das berichtet wird |
| Variationskoeffizient | \(v = s / \bar{x}\) | nein | macht Grössenordnungen vergleichbar; nur bei positiven Verhältnisskalen sinnvoll |
Die Formel teilt nicht durch die Anzahl der Werte, sondern durch eins weniger. Das wirkt wie ein Schreibfehler und hat einen Grund.
Gemessen werden die Abweichungen vom geschätzten Mittel, also von dem Mittel, das aus genau diesen Daten stammt. Dieses Mittel liegt zwangsläufig mitten in den Daten drin. Es gibt keine Zahl, um die die Werte enger streuen als um ihren eigenen Mittelwert; jeder andere Bezugspunkt, auch der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit, ergäbe eine grössere Abweichungssumme.
Wer also durch \(n\) teilt, misst die Streuung um den günstigsten aller möglichen Bezugspunkte und erhält deshalb systematisch einen zu kleinen Wert. Die Korrektur um eins gleicht das aus. Sie heisst Bessel-Korrektur, und Beispiel 4 rechnet sie nach.
R rechnet immer mit \(n-1\), NumPy standardmässig mit \(n\). pandas verhält sich wie R. Wer die Sprachen mischt, bekommt für dieselben Daten zwei verschiedene Standardabweichungen.
Gesteuert wird das in Python über den Parameter ddof, delta degrees of freedom. Er gibt an, wie viel im Nenner von \(n\) abgezogen wird: ddof=0 teilt durch \(n\), ddof=1 durch \(n-1\). Der Name nennt also nicht das Ergebnis, sondern die Grösse des Abzugs, und das ist der Grund, warum er beim ersten Lesen nichts sagt.
Der Boxplot bündelt die robuste Familie in einem Bild. Die Box reicht von \(Q_1\) bis \(Q_3\), der Strich darin ist der Median. Die Antennen gehen bis zum am weitesten entfernten Wert, der noch innerhalb von \(1.5 \times \text{IQR}\) ab dem jeweiligen Quartil liegt, alles darüber hinaus wird als Punkt gezeichnet.
Die 1.5-Regel ist eine Konvention, kein Test. Sie markiert Werte, die einen zweiten Blick verdienen; sie beweist nicht, dass ein Wert falsch ist. Bei normalverteilten Daten fallen rund 0.7 Prozent der Beobachtungen darunter, in grossen Stichproben also regelmässig einige, ohne dass irgendetwas schiefgelaufen wäre.
Sechs Messwerte: 12, 14, 15, 15, 18, 21. Was passiert mit Mittel und Median, wenn ein siebter Wert von 470 dazukommt, etwa durch einen Tippfehler oder einen echten Extremfall?
x <- c(12, 14, 15, 15, 18, 21)
rbind(
"ohne Ausreisser" = c(mittel = mean(x), median = median(x),
sd = sd(x), iqr = IQR(x)),
"mit Ausreisser" = c(mittel = mean(c(x, 470)), median = median(c(x, 470)),
sd = sd(c(x, 470)), iqr = IQR(c(x, 470)))
) |> round(2) mittel median sd iqr
ohne Ausreisser 15.83 15 3.19 3
mit Ausreisser 80.71 15 171.68 5x = np.array([12, 14, 15, 15, 18, 21])
x_gross = np.append(x, 470)
def kennzahlen(werte):
q1, q3 = np.quantile(werte, [0.25, 0.75])
return {"mittel": werte.mean(), "median": np.median(werte),
"sd": werte.std(ddof=1), "iqr": q3 - q1}
print(pd.DataFrame([kennzahlen(x), kennzahlen(x_gross)],
index=["ohne Ausreisser", "mit Ausreisser"]).round(2)) mittel median sd iqr
ohne Ausreisser 15.83 15.0 3.19 3.0
mit Ausreisser 80.71 15.0 171.68 5.0| Mittel | Median | Standardabweichung | IQR | |
|---|---|---|---|---|
| ohne Ausreisser | 15.83 | 15.0 | 3.19 | 3.00 |
| mit Ausreisser | 80.71 | 15.0 | 171.68 | 5.00 |
| Faktor | 5.1 | 1.00 | 53.8 | 1.67 |
| Beobachtung | Erklärung |
|---|---|
| Das Mittel verfünffacht sich | Der eine Wert von 470 trägt allein \(470/7 = 67\) zum Mittel bei, mehr als die sechs anderen zusammen. |
| Der Median bleibt exakt bei 15 | Er zählt nur ab, wie viele Werte links und rechts liegen. Ob ein Wert knapp oder weit rechts liegt, ist ihm gleich. Bei sieben statt sechs Werten rückt er von der Mitte zweier Werte auf den vierten, hier zufällig derselbe. |
| Die Standardabweichung verfünfzigfacht sich | Noch empfindlicher als das Mittel, weil sie die Abweichung quadriert: \((470 - 80.7)^2\) ist rund 151 000 und beherrscht die Summe vollständig. |
| Der IQR steigt von 3.0 auf 5.0 | Er umfasst nur die mittleren fünfzig Prozent; der Extremwert selbst liegt weit ausserhalb. Dass er sich überhaupt ändert, liegt nur daran, dass aus sechs Werten sieben werden und die Quartile dadurch auf andere Rangpositionen fallen. |
Der Vergleich der beiden Faktoren ist die eigentliche Lehre: 53.8 gegen 1.67. Wer eine Streuung berichtet, entscheidet damit implizit, wie stark einzelne Extremwerte durchschlagen sollen.
Und daraus folgt die Praxisregel: Sobald eine Verteilung schief ist oder Ausreisser enthält, beschreibt das robuste Paar (Median, IQR) den typischen Fall besser. Genau darum werden Löhne und Immobilienpreise als Median berichtet.
Der Ausreisser ist damit nicht erklärt, nur seine Wirkung. Ob 470 ein Tippfehler, ein Sonderfall oder ein echter Messwert ist, entscheidet die Sache, nicht die Statistik. Was nicht geht: ihn stillschweigend entfernen.
800 konstruierte Monatslöhne mit dem typischen Verlauf: viele im mittleren Bereich, einzelne sehr hohe. Was macht das mit Mittel und Median?
ggplot(data.frame(lohn = loehne), aes(lohn)) +
geom_histogram(bins = 45, fill = "grey75", colour = "white") +
geom_vline(xintercept = median(loehne)) +
geom_vline(xintercept = mean(loehne), linetype = "dashed") +
annotate("text", x = median(loehne), y = Inf, label = "Median",
vjust = 1.6, hjust = 1.1, size = 3.5) +
annotate("text", x = mean(loehne), y = Inf, label = "Mittel",
vjust = 1.6, hjust = -0.1, size = 3.5) +
labs(x = "Monatslohn (CHF)", y = "Anzahl")
round(c(minimum = min(loehne), q25 = quantile(loehne, 0.25),
median = median(loehne), mittel = mean(loehne),
q75 = quantile(loehne, 0.75), q90 = quantile(loehne, 0.90),
maximum = max(loehne)), 1)minimum q25.25% median mittel q75.75% q90.90% maximum
1736.0 5132.8 6927.0 7621.1 9112.0 12380.3 23844.0 round(c(spannweite = diff(range(loehne)), iqr = IQR(loehne),
sd = sd(loehne), vk = sd(loehne) / mean(loehne)), 3)spannweite iqr sd vk
22108.000 3979.250 3420.327 0.449 
fig, achse = plt.subplots()
_ = achse.hist(loehne, bins=45, color="0.75", edgecolor="white")
_ = achse.axvline(np.median(loehne), color="black")
_ = achse.axvline(loehne.mean(), color="black", linestyle="--")
_ = achse.annotate("Median", (np.median(loehne), achse.get_ylim()[1]),
ha="right", va="top", fontsize=9)
_ = achse.annotate("Mittel", (loehne.mean(), achse.get_ylim()[1]),
ha="left", va="top", fontsize=9)
_ = achse.set_xlabel("Monatslohn (CHF)")
_ = achse.set_ylabel("Anzahl")
plt.tight_layout()
plt.show()
q25, q75, q90 = np.quantile(loehne, [0.25, 0.75, 0.90])
print(pd.Series({"minimum": loehne.min(), "q25": q25,
"median": np.median(loehne), "mittel": loehne.mean(),
"q75": q75, "q90": q90, "maximum": loehne.max()}).round(1))
print(pd.Series({
"spannweite": loehne.max() - loehne.min(),
"iqr": q75 - q25,
"sd": loehne.std(ddof=1), # ddof=1 entspricht sd() in R
"vk": loehne.std(ddof=1) / loehne.mean(),
}).round(3))| Kennzahl | Wert | Was sie sagt |
|---|---|---|
| Minimum | 1 736 | |
| \(Q_{25}\) | rund 5 200 | Ein Viertel verdient weniger. |
| Median | 6 927 | Die Hälfte verdient weniger, die Hälfte mehr. Das ist der typische Lohn. |
| Mittel | 7 621 | Rund 700 Franken höher, der Abstand ist die Schiefe. |
| \(Q_{75}\) | rund 9 200 | |
| \(Q_{90}\) | 12 380 | Zehn Prozent verdienen mehr als das. |
| Maximum | 23 844 | Das Dreieinhalbfache des Medians. |
| Streuungsmass | Wert | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
| Spannweite | 22 108 | Beschreibt nur die beiden Extremwerte, sonst nichts. Bei 8000 statt 800 Löhnen wäre sie grösser, ohne dass sich an der Verteilung etwas geändert hätte. |
| IQR | 3 979 | Die mittleren fünfzig Prozent liegen in einem Band von rund 4000 Franken. Das ist die brauchbare Aussage. |
| Standardabweichung | 3 420 | Kleiner als der IQR, bei einer symmetrischen Verteilung wäre sie kleiner als die Hälfte davon. Der Vergleich der beiden ist selbst ein Schiefemass. |
| Variationskoeffizient | 0.449 | Die Streuung beträgt 45 Prozent des Mittelwerts. Damit lässt sich diese Lohnverteilung mit einer aus einem anderen Land oder einer anderen Währung vergleichen. |
Warum das Mittel überhaupt höher liegt, im Bild abgelesen: Die Masse der Löhne liegt links, aber einzelne sehr hohe Werte ziehen sich weit nach rechts. Der Median zählt nur ab; das Mittel ist ein Schwerpunkt, und ein weit entfernter Wert wirkt darin wie ein langer Hebel. Deshalb rutscht das Mittel dorthin, wo der Rand länger ausläuft, während der Median stehen bleibt.
Die Differenz von 694 Franken ist die kompakteste Beschreibung der Schiefe, die es gibt und sie steht in jeder Lohnstatistik zum Ablesen bereit.
Der Medianlohn beträgt 6 927 Franken (IQR 3 979, n = 800). Die Verteilung ist rechtsschief: Das arithmetische Mittel liegt mit 7 621 Franken rund zehn Prozent darüber, und zehn Prozent der Löhne überschreiten 12 380 Franken.
Ein Hersteller garantiert, dass 90 Prozent der Bauteile eine Toleranz von höchstens 0.4 mm einhalten. Welche Kennzahl prüft diese Zusage und welche nicht?
Dazu die kleinen Werte aus Beispiel 1, an denen sich die Interpolation zeigen lässt.
quantile(x, probs = c(0.25, 0.5, 0.75)) 25% 50% 75%
14.25 15.00 17.25 # Wie kommt 14.25 zustande? Typ 7 interpoliert linear zwischen den Rängen
sortiert <- sort(x)
position <- 1 + 0.25 * (length(x) - 1) # Rangposition des 25%-Quantils
c(position = position,
unten = sortiert[floor(position)],
oben = sortiert[ceiling(position)],
anteil = position - floor(position))position unten oben anteil
2.25 14.00 15.00 0.25 print(np.quantile(x, [0.25, 0.5, 0.75]))
sortiert = np.sort(x)
position = 1 + 0.25 * (len(x) - 1)
print({"position": position,
"unten": int(sortiert[int(np.floor(position)) - 1]),
"oben": int(sortiert[int(np.ceil(position)) - 1]),
"anteil": round(position - np.floor(position), 2)})Die drei Quartile der Werte 12, 14, 15, 15, 18, 21:
| Quantil | Wert |
|---|---|
| \(Q_{25}\) | 14.25 |
| \(Q_{50}\) (Median) | 15.00 |
| \(Q_{75}\) | 17.25 |
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Rangposition | \(1 + 0.25 \cdot (6 - 1)\) | 2.25 |
| Nachbarn | zweiter Wert = 14, dritter Wert = 15 | |
| Interpolation | \(14 + 0.25 \cdot (15 - 14)\) | 14.25 |
| Frage | Antwort | Warum |
|---|---|---|
| Prüft das 0.9-Quantil die Zusage? | Ja | Es ist genau der Wert, unter dem 90 Prozent der Beobachtungen liegen, und lässt sich unmittelbar mit den 0.4 mm vergleichen. |
| Prüft der Mittelwert sie? | Nein | Er sagt nichts darüber, wie viele Teile unter einer Schranke liegen. Ein kleines Mittel ist mit vielen Ausreissern vereinbar. |
| Prüft die Standardabweichung sie? | Nein | Sie beschreibt die Streubreite insgesamt. Auf einen Anteil lässt sich daraus nur schliessen, wenn man zusätzlich eine Verteilungsform unterstellt und genau das will man bei einer Garantiezusage nicht. |
Warum 14.25 und nicht 14? Weil das 25-Prozent-Quantil bei sechs Werten zwischen den Rängen liegt. Es gibt neun gebräuchliche Konventionen, wie dann interpoliert wird; R nimmt Typ 7, und NumPy sowie pandas rechnen genauso.
Bei anderen Werkzeugen ist das nicht garantiert: Excel, SPSS und SQL-Datenbanken verwenden teils andere Typen, und bei kleinen Stichproben kommen dann sichtbar verschiedene Zahlen heraus. Bei \(n\) in den Hunderten ist der Unterschied vernachlässigbar.
Quantile sind das direkte Werkzeug für Anteilsfragen, Garantiezusagen, Service-Level, Grenzwerte. Der Umweg über Mittel und Streuung braucht immer eine zusätzliche Annahme.
Die Behauptung: Die Division durch \(n\) unterschätzt die Varianz systematisch, die durch \(n-1\) trifft sie im Mittel. Das lässt sich nachrechnen, mit 20 000 Stichproben zu je fünf Werten aus einer Grundgesamtheit mit bekannter Varianz \(\sigma^2 = 25\).
# 20000 Stichproben zu je 5 Werten, sigma = 5, also sigma^2 = 25
alle <- matrix(normalwerte(3311, 20000 * 5, 100, 5), nrow = 20000, byrow = TRUE)
durch_n <- mean(apply(alle, 1, function(v) mean((v - mean(v))^2)))
durch_n_1 <- mean(apply(alle, 1, var)) # var() teilt durch n - 1
round(c(wahr = 25, geteilt_durch_n = durch_n,
geteilt_durch_n_1 = durch_n_1,
verhaeltnis = durch_n / 25), 3) wahr geteilt_durch_n geteilt_durch_n_1 verhaeltnis
25.000 20.203 25.254 0.808 # Der Faktor ist kein Zufall
round((5 - 1) / 5, 3)[1] 0.8alle = normalwerte(3311, 20000 * 5, 100, 5).reshape(20000, 5)
durch_n = ((alle - alle.mean(axis=1, keepdims=True)) ** 2).mean(axis=1).mean()
durch_n_1 = alle.var(axis=1, ddof=1).mean()
print({"wahr": 25,
"geteilt_durch_n": round(float(durch_n), 3),
"geteilt_durch_n_1": round(float(durch_n_1), 3),
"verhaeltnis": round(float(durch_n) / 25, 3)})
print("(n - 1) / n =", round((5 - 1) / 5, 3))| Grösse | Wert |
|---|---|
| wahre Varianz \(\sigma^2\) | 25.00 |
| Mittel über 20 000 Stichproben, geteilt durch \(n\) | 20.20 |
| Mittel über 20 000 Stichproben, geteilt durch \(n-1\) | 25.25 |
| Verhältnis 20.20 zu 25 | 0.808 |
| \((n-1)/n\) bei \(n = 5\) | 0.800 |
| Beobachtung | Erklärung |
|---|---|
| Die Variante mit \(n\) liegt um 19 Prozent zu tief | Und zwar nicht zufällig: Das Verhältnis 0.808 trifft den theoretischen Wert \((n-1)/n = 0.8\) auf ein Prozent genau. Die Unterschätzung ist also exakt vorhersagbar. |
| Die Variante mit \(n-1\) trifft | 25.25 gegenüber 25.00. Die Restabweichung von einem Prozent ist Stichprobenzufall über die 20 000 Wiederholungen. |
| Bei \(n = 5\) ist der Fehler gross | Ein Fünftel des Nenners macht viel aus. |
| Bei \(n = 500\) wäre er 0.2 Prozent | Deshalb spielt die Frage bei grossen Stichproben praktisch keine Rolle und deshalb ist sie trotzdem wichtig, weil kleine Stichproben der Normalfall sind, in dem man sie braucht. |
Der Sprachunterschied in einer Zeile:
| Aufruf | Nenner | Ergebnis für 12, 14, 15, 15, 18, 21 |
|---|---|---|
sd(x) in R |
\(n-1\) | 3.1885 |
np.std(x) |
\(n\) | 2.9107 |
np.std(x, ddof=1) |
\(n-1\) | 3.1885 |
pd.Series(x).std() |
\(n-1\) | 3.1885 |
Abweichend verhält sich also nur NumPy selbst. Beispiel 5 zeigt es an den Zahlen.
Die Division durch \(n\) unterschätzt die Varianz bei \(n = 5\) systematisch um den Faktor \((n-1)/n = 0.8\); die Bessel-Korrektur gleicht das aus. In der Simulation über 20 000 Stichproben ergibt sich 20.20 gegenüber 25.25, bei einer wahren Varianz von 25.
Zwei Verteilungen mit fast identischen Boxplots: eine zweigipflige (zwei Wolken um 35 und 65) und eine gleichmässige zwischen 25 und 75. Was zeigt der Boxplot, was nicht?
werte <- c(normalwerte(4411, 120, 50, 8), 88, 91, 12)
kennz <- quantile(werte, c(0.25, 0.5, 0.75))
iqr <- kennz[3] - kennz[1]
zweigipflig <- c(normalwerte(5511, 400, 35, 5), normalwerte(5512, 400, 65, 5))
gleichmaessig <- 25 + 50 * lehmer(5513, 800)
dat <- data.frame(
wert = c(zweigipflig, gleichmaessig),
form = rep(c("zweigipflig", "gleichmässig"), each = 800)
)
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 4, 2, 1))
boxplot(werte, main = "Anatomie", ylab = "Messwert", col = "grey90")
text(1.35, kennz, labels = c("Q1", "Median", "Q3"), cex = 0.8)
boxplot(wert ~ form, data = dat, main = "zwei Formen", xlab = "", ylab = "Wert",
col = "grey90")
par(mfrow = c(1, 1))
round(c(q1 = kennz[1], median = kennz[2], q3 = kennz[3], iqr = iqr,
grenze_unten = kennz[1] - 1.5 * iqr,
grenze_oben = kennz[3] + 1.5 * iqr), 2) q1.25% median.50% q3.75% iqr.75%
45.31 50.15 56.30 10.99
grenze_unten.25% grenze_oben.75%
28.83 72.78 sort(werte[werte < kennz[1] - 1.5 * iqr | werte > kennz[3] + 1.5 * iqr])[1] 12 88 91
ggplot(dat, aes(wert)) +
geom_histogram(bins = 40, fill = "grey75", colour = "white") +
facet_wrap(~ form) +
labs(x = "Wert", y = "Anzahl")
werte = np.append(normalwerte(4411, 120, 50, 8), [88, 91, 12])
q1, med, q3 = np.quantile(werte, [0.25, 0.5, 0.75])
iqr = q3 - q1
zweigipflig = np.concatenate([normalwerte(5511, 400, 35, 5),
normalwerte(5512, 400, 65, 5)])
gleichmaessig = 25 + 50 * lehmer(5513, 800)
fig, achsen = plt.subplots(2, 2, figsize=(7, 5))
_ = achsen[0, 0].boxplot(werte, whis=1.5, widths=0.35, patch_artist=True,
boxprops={"facecolor": "0.9"},
medianprops={"color": "black"})
_ = achsen[0, 0].set_title("Anatomie")
_ = achsen[0, 1].boxplot([zweigipflig, gleichmaessig], widths=0.4,
patch_artist=True, boxprops={"facecolor": "0.9"},
medianprops={"color": "black"})
_ = achsen[0, 1].set_xticklabels(["zweigipflig", "gleichmässig"])
_ = achsen[0, 1].set_title("zwei Formen")
for achse, daten, titel in zip(achsen[1], [zweigipflig, gleichmaessig],
["zweigipflig", "gleichmässig"]):
_ = achse.hist(daten, bins=40, color="0.75", edgecolor="white")
_ = achse.set_title(titel)
_ = achse.set_xlabel("Wert")
plt.tight_layout()
plt.show()
print({"q1": round(q1, 2), "median": round(med, 2), "q3": round(q3, 2),
"iqr": round(iqr, 2),
"grenze_unten": round(q1 - 1.5 * iqr, 2),
"grenze_oben": round(q3 + 1.5 * iqr, 2)})
print("Ausreisser:",
np.round(np.sort(werte[(werte < q1 - 1.5 * iqr)
| (werte > q3 + 1.5 * iqr)]), 1))
for name, daten in [("zweigipflig", zweigipflig),
("gleichmässig", gleichmaessig)]:
a, b = np.quantile(daten, [0.25, 0.75])
print(f"{name:14s} Median {np.median(daten):6.2f} Q1 {a:6.2f}"
f" Q3 {b:6.2f} SD {daten.std(ddof=1):5.2f}")Die Anatomie an 123 Werten:
| Grösse | Wert | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(Q_1\) | 45.31 | untere Kante der Box |
| Median | 50.15 | Strich in der Box |
| \(Q_3\) | 56.30 | obere Kante |
| IQR | 10.99 | Höhe der Box |
| Grenze unten | $45.31 - 1.5 = $ 28.83 | |
| Grenze oben | $56.30 + 1.5 = $ 72.78 | |
| markierte Werte | 12, 88, 91 | genau die drei absichtlich eingebauten |
Die Antennen enden nicht an diesen Grenzen, sondern am letzten tatsächlichen Wert davor. Das ist der häufigste Lesefehler: Die Antennenlänge ist ein Datenwert, kein gerechneter Grenzwert.
Und die beiden Formen im Vergleich:
| Median | \(Q_1\) | \(Q_3\) | SD | |
|---|---|---|---|---|
| zweigipflig | 51.46 | 35.10 | 65.06 | 15.82 |
| gleichmässig | 50.43 | 36.55 | 62.22 | 14.45 |
| Beobachtung | Deutung |
|---|---|
| Die Mediane liegen einen Punkt auseinander | Aus zwei Boxplots nebeneinander wäre kein Unterschied ablesbar. |
| Quartile und SD unterscheiden sich um wenige Prozent | Alle fünf Kennzahlen des Boxplots sind praktisch gleich. |
| Die Histogramme zeigen etwas völlig anderes | Zwei getrennte Gipfel gegen eine flache Wanne. Der Boxplot kann das nicht zeigen, weil er nur fünf Zahlen kennt. |
| Der Median 51.46 bei der zweigipfligen Verteilung | liegt in der Lücke zwischen den Gipfeln, an einer Stelle, an der praktisch keine Beobachtung liegt. Eine “typische” Beobachtung ist er damit nicht. |
Deshalb gehört zum Boxplot immer ein zweiter Blick auf die Verteilung, Histogramm, Dichtekurve oder bei kleinen Stichproben schlicht die einzelnen Punkte.
Seine Stärke ist der Gruppenvergleich: zwanzig Boxplots nebeneinander sind lesbar, zwanzig Histogramme nicht. Seine Schwäche ist die Form einer einzelnen Verteilung.
Der markierte Wert liegt mehr als das Anderthalbfache des Interquartilsabstands über dem oberen Quartil (Grenze 72.78 bei \(Q_3\) = 56.30 und IQR = 10.99). Das ist eine Konvention zum Hinsehen und kein Test.
ddof denken.Eine Auswertung von 200 Wohnungsmieten meldet ein Mittel von 2140 Franken und einen Median von 1680 Franken. Was folgt daraus?
Ein Ausreisser lässt die Standardabweichung um den Faktor 54 steigen, den IQR um den Faktor 1.17. Woran liegt der Unterschied?
Ein Hersteller garantiert, dass 90 Prozent der Bauteile eine Toleranz von höchstens 0.4 mm haben. Welche Kennzahl prüft diese Zusage direkt?
Dieselben zehn Messwerte werden in R mit sd(x) und in Python mit np.std(x) ausgewertet. Das R-Ergebnis ist grösser. Woran liegt das?
np.std(x, ddof=1) stimmen beide überein und pandas verhält sich von sich aus wie R.
Warum wird bei der Varianz überhaupt durch \(n-1\) geteilt und nicht durch \(n\)?
Zwei Maschinen produzieren Wellen. Maschine A hat eine Standardabweichung von 0.8 mm bei einem Mitteldurchmesser von 40 mm, Maschine B eine von 2.0 mm bei 200 mm. Welche arbeitet relativ gesehen genauer?
Zwei Gruppen haben nahezu identische Boxplots. Was lässt sich daraus schliessen?