Der Bootstrap zieht zufällig, und Zufallszahlen unterscheiden sich zwischen R und Python. Damit die Zahlen auf dieser Seite in beiden Sprachen übereinstimmen, kommt ein einfacher Generator zum Einsatz, der in beiden gleich rechnet. In der Praxis nimmt man die eingebauten Generatoren und setzt einen Seed.
| Fragestellung | Wie unsicher ist eine Kennzahl, wenn keine Formel dafür existiert oder ihre Voraussetzungen verletzt sind? |
| Eingang | eine Stichprobe und eine beliebige Kennzahl |
| Was die Methode liefert | Standardfehler, Konfidenzintervall und die ganze Verteilung der Kennzahl |
| R-Funktion | von Hand mit sample(), oder boot::boot() und boot::boot.ci() |
| Python-Funktion | von Hand mit np.random.choice(), oder scipy.stats.bootstrap() |
| Verwandte Methoden | Schätzen und Konfidenzintervalle, nichtparametrische Tests |
Der Bootstrap ist die Antwort auf zwei Fragen, für die die klassische Statistik keine gute hat.
Erstens: Kennzahlen ohne Formel. Für den Mittelwert gibt es einen Standardfehler, für den Median, den getrimmten Mittelwert, ein Verhältnis zweier Grössen oder den Unterschied zweier Korrelationen nicht ohne Weiteres. Der Bootstrap liefert ihn für jede Kennzahl, die sich ausrechnen lässt.
Zweitens: verletzte Verteilungsannahmen. Bei stark schiefen Daten ist das t-Intervall symmetrisch, obwohl die Verteilung des Mittelwerts es nicht ist. Der Bootstrap bildet die Schiefe ab, siehe Beispiel 1.
| Situation | Stattdessen |
|---|---|
| Voraussetzungen erfüllt, Kennzahl mit Formel | das klassische Konfidenzintervall; es ist schneller und braucht keinen Zufall |
| Sehr kleine Stichprobe | kein Bootstrap; er kann nur wiederverwenden, was vorhanden ist, siehe Beispiel 4 |
| Es geht um extreme Quantile oder das Maximum | ungeeignet, aus demselben Grund |
| Abhängige Daten, etwa Zeitreihen | Blockbootstrap statt gewöhnlichem Ziehen |
| Es geht um einen Test statt um ein Intervall | Permutationstest, ein verwandtes Verfahren mit anderer Ziehung |
Die klassische Statistik fragt: Wie würde meine Kennzahl schwanken, wenn ich die Erhebung viele Male wiederholte? Beantwortet wird das über eine Verteilungsannahme und eine Formel.
Der Bootstrap beantwortet dieselbe Frage anders: Er behandelt die vorliegende Stichprobe als Ersatz für die Grundgesamtheit und zieht daraus wiederholt neue Stichproben, mit Zurücklegen und in derselben Grösse.
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| 1 | Aus den \(n\) Werten werden \(n\) Werte mit Zurücklegen gezogen. Manche kommen mehrfach vor, andere gar nicht. |
| 2 | Für diese Ziehung wird die Kennzahl berechnet. |
| 3 | Schritte 1 und 2 werden \(B\)-mal wiederholt, üblicherweise 1000 bis 10 000 Mal. |
| 4 | Die \(B\) Werte bilden die Bootstrap-Verteilung der Kennzahl. |
| 5 | Ihre Standardabweichung ist der Standardfehler, ihre Quantile ergeben das Intervall. |
Das Zurücklegen ist wesentlich: Ohne es wäre jede Ziehung identisch mit der Ausgangsstichprobe. Im Mittel enthält eine Bootstrap-Ziehung rund 63 Prozent der ursprünglichen Werte, den Rest mehrfach.
Die entscheidende Annahme lautet: Die Stichprobe ist repräsentativ für die Grundgesamtheit. Der Bootstrap ersetzt die Verteilungsannahme durch diese Annahme, er macht das Verfahren also nicht voraussetzungsfrei, sondern tauscht eine Voraussetzung gegen eine andere.
Daraus folgt unmittelbar seine Grenze: Was in der Stichprobe nicht vorkommt, kann er nicht erfinden. Bei kleinen Stichproben ist diese Grenze eng, siehe Beispiel 4.
| Variante | Wie sie rechnet | Wann |
|---|---|---|
| Perzentil | die 2.5- und 97.5-Prozent-Quantile der Bootstrap-Verteilung | einfach, verständlich, für die meisten Fälle ausreichend |
| Basic | spiegelt die Quantile am beobachteten Wert | wenn die Verzerrung gering ist |
| BCa | korrigiert Verzerrung und Schiefe | die genaueste Variante, in boot.ci() und scipy.stats.bootstrap() enthalten |
| Studentisiert | verwendet einen bootstrapten Standardfehler je Ziehung | am genauesten, aber rechenaufwendig |
Auf dieser Seite steht das Perzentilintervall im Vordergrund, weil sich daran das Verfahren am besten erklären lässt. Für einen Bericht ist BCa vorzuziehen.
| Grösse | Was sie sagt | Falle |
|---|---|---|
| Bootstrap-Standardfehler | Standardabweichung der \(B\) Kennzahlwerte | ersetzt die Formel, nicht die Interpretation |
| Verzerrung (bias) | Bootstrap-Mittel minus beobachteter Wert | kleine Werte sind normal; grosse deuten auf eine ungeeignete Kennzahl oder zu wenig Daten |
| Perzentilintervall | Quantile der Bootstrap-Verteilung | bei starker Verzerrung zu optimistisch |
| \(B\) | Anzahl Wiederholungen | zu klein macht das Ergebnis vom Zufall abhängig, siehe Beispiel 3 |
| Seed | Startwert des Generators | gehört ins Protokoll, sonst ist das Ergebnis nicht reproduzierbar |
Für [Kennzahl] ergibt sich [Wert] (95-Prozent-Bootstrap-Konfidenzintervall [unten] bis [oben], Perzentilmethode, B = [Anzahl] Ziehungen, Seed [Wert]).
Genannt werden: die Kennzahl, die Intervallvariante, \(B\), der Seed und der Grund, warum der Bootstrap statt einer Formel verwendet wurde. Die letzten beiden fehlen am häufigsten.
| Methode | Wann diese statt Bootstrap |
|---|---|
| Konfidenzintervall | Kennzahl mit Formel und erfüllten Voraussetzungen |
| Nichtparametrische Tests | es geht um einen Test, nicht um ein Intervall |
| Permutationstest | Test ohne Verteilungsannahme; zieht ohne Zurücklegen und vertauscht Gruppenzugehörigkeiten |
| Kreuzvalidierung | es geht um Vorhersagegüte, siehe Modellauswahl |
Vierzig Wartezeiten in Minuten, deutlich rechtsschief: Der Median liegt bei 5.7 Minuten, der Mittelwert bei 12.3, der grösste Wert bei 78.3. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Mittelwert.
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
hist(warten, breaks = 12, col = "grey85", main = "Wartezeiten",
xlab = "Minuten")
qqnorm(warten, main = "QQ-Plot"); qqline(warten)
par(mfrow = c(1, 1))
round(c(n = length(warten), mittel = mean(warten), median = median(warten),
sd = sd(warten)), 4) n mittel median sd
40.000 12.295 5.700 16.389 
import statsmodels.api as sm
fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.2))
achsen[0].hist(warten, bins=12, color="0.8", edgecolor="0.3")
achsen[0].set_title("Wartezeiten")
achsen[0].set_xlabel("Minuten")
sm.qqplot(warten, line="s", ax=achsen[1])
achsen[1].set_title("QQ-Plot")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("n =", len(warten), " Mittel =", round(warten.mean(), 4),
" Median =", round(np.median(warten), 4),
" SD =", round(warten.std(ddof=1), 4),
" Schiefe =", round(stats.skew(warten, bias=False), 4))n = 40 Mittel = 12.295 Median = 5.7 SD = 16.389 Schiefe = 2.5706Die Schiefe beträgt 2.57, der Mittelwert liegt mehr als doppelt so hoch wie der Median, und der QQ-Plot biegt am oberen Ende weit von der Geraden ab. Bei 40 Beobachtungen wirkt der zentrale Grenzwertsatz zwar schon, aber nicht so weit, dass die Verteilung des Mittelwerts symmetrisch wäre.
B <- 2000
zieh <- ziehungen(warten, B)
mittel_boot <- rowMeans(zieh)
par(mar = c(4, 4, 3, 1))
hist(mittel_boot, breaks = 40, col = "grey85",
main = "Bootstrap-Verteilung des Mittelwerts", xlab = "Minuten")
abline(v = mean(warten), lwd = 2, col = "steelblue")
abline(v = quantile(mittel_boot, c(0.025, 0.975)), lty = 2, col = "firebrick")
round(c(beobachtet = mean(warten),
boot_mittel = mean(mittel_boot),
verzerrung = mean(mittel_boot) - mean(warten),
boot_se = sd(mittel_boot)), 4) beobachtet boot_mittel verzerrung boot_se
12.2950 12.1596 -0.1354 2.5436 round(quantile(mittel_boot, c(0.025, 0.975)), 4) 2.5% 97.5%
7.8073 17.7205 # Zum Vergleich das klassische t-Intervall
round(t.test(warten)$conf.int, 4)[1] 7.0535 17.5365
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
B = 2000
zieh = ziehungen(warten, B)
mittel_boot = zieh.mean(axis=1)
fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.4))
achse.hist(mittel_boot, bins=40, color="0.85", edgecolor="0.4")
achse.axvline(warten.mean(), linewidth=2, color="steelblue")
for q in np.percentile(mittel_boot, [2.5, 97.5]):
achse.axvline(q, linestyle="--", color="firebrick")
achse.set_title("Bootstrap-Verteilung des Mittelwerts")
achse.set_xlabel("Minuten")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("beobachtet =", round(warten.mean(), 4),
" Bootstrap-Mittel =", round(mittel_boot.mean(), 4),
" Verzerrung =", round(mittel_boot.mean() - warten.mean(), 4),
" Bootstrap-SE =", round(mittel_boot.std(ddof=1), 4))beobachtet = 12.295 Bootstrap-Mittel = 12.1596 Verzerrung = -0.1354 Bootstrap-SE = 2.5436print("Perzentilintervall:", np.percentile(mittel_boot, [2.5, 97.5]).round(4))Perzentilintervall: [ 7.8073 17.7205]se = warten.std(ddof=1) / np.sqrt(len(warten))
tk = stats.t.ppf(0.975, len(warten) - 1)
print("t-Intervall: ",
np.round([warten.mean() - tk * se, warten.mean() + tk * se], 4))t-Intervall: [ 7.0535 17.5365]| Ausgabe | Wert hier | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
| beobachteter Mittelwert | 12.295 | |
| Bootstrap-Mittel | 12.160 | Der Mittelwert der 2000 Ziehungen. |
| Verzerrung | -0.135 | Bootstrap-Mittel minus beobachteter Wert. Klein gegenüber dem Standardfehler von 2.54, also unbedenklich. |
| Bootstrap-Standardfehler | 2.544 | Zum Vergleich: die Formel liefert \(s/\sqrt{n}\) = 16.389/6.325 = 2.591. Die beiden liegen nah beieinander. |
| Perzentilintervall | 7.807 bis 17.721 | |
| t-Intervall | 7.054 bis 17.537 |
Der aufschlussreiche Vergleich steht in den letzten beiden Zeilen. Beide Intervalle sind ähnlich breit, aber verschieden platziert:
| untere Grenze | obere Grenze | Abstand nach unten | Abstand nach oben | |
|---|---|---|---|---|
| t-Intervall | 7.054 | 17.537 | -5.241 | +5.241 |
| Bootstrap | 7.807 | 17.721 | -4.488 | +5.426 |
Das t-Intervall ist exakt symmetrisch, weil die Formel es so konstruiert. Das Bootstrap-Intervall ist es nicht: Es reicht 4.49 Minuten nach unten und 5.43 nach oben. Genau das erwartet man bei rechtsschiefen Daten, denn der Mittelwert kann durch einzelne grosse Werte weiter nach oben als nach unten wandern.
Der Bootstrap bildet hier eine Eigenschaft ab, die die Formel gar nicht abbilden kann. Bei n = 40 ist der Unterschied noch moderat; bei n = 15 wäre er erheblich, und dann wäre das t-Intervall an der unteren Grenze deutlich zu weit.
Zugleich zeigt der Vergleich, dass die Formel nicht falsch ist: Die Standardfehler stimmen fast überein (2.54 gegen 2.59). Der Gewinn liegt in der Form des Intervalls, nicht in seiner Breite.
Die mittlere Wartezeit beträgt 12.3 Minuten (95-Prozent-Bootstrap-Konfidenz- intervall 7.8 bis 17.7 Minuten, Perzentilmethode, B = 2000). Der Bootstrap wurde wegen der deutlichen Rechtsschiefe (Schiefe 2.57) verwendet; das klassische t-Intervall wäre mit 7.1 bis 17.5 symmetrisch und würde die Schiefe der Verteilung nicht abbilden.
Für den Median gibt es keinen einfachen Standardfehler, für den getrimmten Mittelwert ebenso wenig. Der Bootstrap braucht keine Formel, sondern nur eine Rechenvorschrift.
kennzahlen <- list(
Mittelwert = function(m) rowMeans(m),
Median = function(m) apply(m, 1, median),
"getrimmt 10%" = function(m) apply(m, 1, mean, trim = 0.1)
)
ergebnis <- t(sapply(names(kennzahlen), function(name) {
verteilung <- kennzahlen[[name]](zieh)
beobachtet <- switch(name,
"Mittelwert" = mean(warten),
"Median" = median(warten),
mean(warten, trim = 0.1))
c(beobachtet = beobachtet,
boot_se = sd(verteilung),
unten = unname(quantile(verteilung, 0.025)),
oben = unname(quantile(verteilung, 0.975)))
}))
round(ergebnis, 4) beobachtet boot_se unten oben
Mittelwert 12.2950 2.5436 7.8073 17.7205
Median 5.7000 1.2972 3.9000 8.7500
getrimmt 10% 8.3969 1.9836 5.5938 13.2692kennzahlen = {
"Mittelwert": (warten.mean(), zieh.mean(axis=1)),
"Median": (np.median(warten), np.median(zieh, axis=1)),
"getrimmt 10%": (stats.trim_mean(warten, 0.1),
np.array([stats.trim_mean(z, 0.1) for z in zieh])),
}
print(pd.DataFrame({
name: {
"beobachtet": beob,
"boot_se": vert.std(ddof=1),
"unten": np.percentile(vert, 2.5),
"oben": np.percentile(vert, 97.5),
}
for name, (beob, vert) in kennzahlen.items()
}).T.round(4)) beobachtet boot_se unten oben
Mittelwert 12.2950 2.5436 7.8073 17.7205
Median 5.7000 1.2972 3.9000 8.7500
getrimmt 10% 8.3969 1.9836 5.5938 13.2692| Kennzahl | beobachtet | Bootstrap-SE | 95-Prozent-Intervall | Wie das zu lesen ist |
|---|---|---|---|---|
| Mittelwert | 12.295 | 2.544 | 7.81 bis 17.72 | Stark von den grossen Werten geprägt. |
| Median | 5.700 | 1.297 | 3.90 bis 8.75 | Halb so grosser Standardfehler, deutlich schmaleres Intervall, und inhaltlich die Zahl, die einen typischen Fall beschreibt. |
| getrimmt 10 % | 8.397 | 1.984 | 5.59 bis 13.27 | Der Kompromiss: Die äussersten 10 Prozent auf jeder Seite werden weggelassen, der Rest gemittelt. |
Für keine der beiden unteren Zeilen gibt es eine Standardformel. Der Bootstrap liefert sie ohne Zusatzaufwand, weil ihm gleichgültig ist, welche Kennzahl er berechnet.
Das Intervall des Medians ist auffällig grobkörnig: Seine Grenzen sind 3.90 und 8.75, also Mittelwerte benachbarter beobachteter Werte. Das liegt daran, dass der Median einer Ziehung immer einer der vorhandenen Werte ist oder das Mittel zweier davon. Die Bootstrap-Verteilung ist deshalb diskret, und bei kleinen Stichproben wird das zum Problem, siehe Beispiel 4.
Die Tabelle macht auch eine inhaltliche Entscheidung sichtbar. Welche der drei Kennzahlen berichtet wird, ist keine statistische Frage: Der Mittelwert zählt, wenn es um die Gesamtbelastung geht (alle Wartezeiten zusammen), der Median, wenn es um den typischen Fall geht.
Die mediane Wartezeit beträgt 5.7 Minuten (95-Prozent-Bootstrap-Konfidenz- intervall 3.9 bis 8.8 Minuten, Perzentilmethode, B = 2000). Berichtet wird der Median statt des Mittelwerts, weil die Verteilung stark rechtsschief ist und der Mittelwert von 12.3 Minuten keinen typischen Fall beschreibt.
\(B\) ist frei wählbar. Zu wenige Ziehungen machen das Ergebnis vom Zufall abhängig, zu viele kosten nur Rechenzeit. Wo liegt die Grenze?
cat("Einfluss von B (Mittelwert, Saat 42):\n")Einfluss von B (Mittelwert, Saat 42):for (b in c(200, 1000, 2000)) {
v <- rowMeans(ziehungen(warten, b))
cat(sprintf(" B = %5d: %.4f bis %.4f\n", b,
quantile(v, 0.025), quantile(v, 0.975)))
} B = 200: 7.5031 bis 17.6306
B = 1000: 7.6320 bis 18.0444
B = 2000: 7.8073 bis 17.7205cat("\nEinfluss der Saat (B = 2000):\n")
Einfluss der Saat (B = 2000):for (saat in c(1, 42, 12345)) {
v <- rowMeans(ziehungen(warten, 2000, saat = saat))
cat(sprintf(" Saat %6d: %.4f bis %.4f\n", saat,
quantile(v, 0.025), quantile(v, 0.975)))
} Saat 1: 7.8121 bis 17.4978
Saat 42: 7.8073 bis 17.7205
Saat 12345: 7.9123 bis 17.7652print("Einfluss von B (Mittelwert, Saat 42):")Einfluss von B (Mittelwert, Saat 42):for b in (200, 1000, 2000):
v = ziehungen(warten, b).mean(axis=1)
unten, oben = np.percentile(v, [2.5, 97.5])
print(f" B = {b:5d}: {unten:.4f} bis {oben:.4f}") B = 200: 7.5031 bis 17.6306
B = 1000: 7.6320 bis 18.0444
B = 2000: 7.8073 bis 17.7205print("\nEinfluss der Saat (B = 2000):")
Einfluss der Saat (B = 2000):for saat in (1, 42, 12345):
v = ziehungen(warten, 2000, saat=saat).mean(axis=1)
unten, oben = np.percentile(v, [2.5, 97.5])
print(f" Saat {saat:6d}: {unten:.4f} bis {oben:.4f}") Saat 1: 7.8121 bis 17.4978
Saat 42: 7.8073 bis 17.7205
Saat 12345: 7.9123 bis 17.7652| B | Intervall | Wie das zu lesen ist |
|---|---|---|
| 200 | 7.503 bis 17.631 | Die untere Grenze liegt 0.30 Minuten neben dem Wert bei B = 2000. |
| 1000 | 7.632 bis 18.044 | Die obere Grenze weicht um 0.32 ab. |
| 2000 | 7.807 bis 17.721 |
| Saat bei B = 2000 | Intervall | Schwankung |
|---|---|---|
| 1 | 7.812 bis 17.498 | |
| 42 | 7.807 bis 17.721 | |
| 12345 | 7.912 bis 17.765 | rund 0.27 Minuten Spanne an der oberen Grenze |
Bei B = 2000 schwanken die Grenzen je nach Seed noch um rund 0.3 Minuten. Ob das stört, hängt davon ab, wie genau berichtet wird: Für eine Angabe “7.8 bis 17.7” ist es relevant, für “rund 8 bis 18” nicht.
Faustregeln für B. Für Standardfehler genügen 1000 Ziehungen. Für Perzentilintervalle sind 2000 bis 5000 üblich, weil die Quantile an den Rändern der Verteilung liegen und dort weniger Werte zur Verfügung stehen. Für BCa oder für sehr genaue Angaben sind 10 000 angebracht.
Rechenzeit ist selten das Argument: 10 000 Ziehungen aus 40 Werten sind eine Sache von Sekundenbruchteilen. Auf dieser Seite steht B = 2000, weil die Rechnung im Build für jede Seite neu läuft.
Der Seed gehört ins Protokoll. Nicht weil das Ergebnis dadurch richtiger würde, sondern weil eine Bootstrap-Angabe ohne Seed nicht reproduzierbar ist: Wer sie nachrechnet, bekommt andere Grenzen und weiss nicht, ob das an einem Fehler liegt oder am Zufall.
Nur die ersten acht Wartezeiten: 1.2 bis 2.6 Minuten. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Median. Der Bootstrap läuft anstandslos durch und liefert etwas, das nicht brauchbar ist.
klein <- warten[1:8]
klein[1] 1.2 1.5 1.8 2.0 2.1 2.3 2.5 2.6zieh_klein <- ziehungen(klein, 2000)
median_klein <- apply(zieh_klein, 1, median)
round(c(median_beobachtet = median(klein),
unten = unname(quantile(median_klein, 0.025)),
oben = unname(quantile(median_klein, 0.975))), 4)median_beobachtet unten oben
2.05 1.50 2.50 cat("verschiedene Werte in der Bootstrap-Verteilung:",
length(unique(median_klein)), "\n")verschiedene Werte in der Bootstrap-Verteilung: 22 cat("Maximum der Bootstrap-Verteilung:", max(median_klein),
" Maximum der Daten:", max(klein), "\n")Maximum der Bootstrap-Verteilung: 2.6 Maximum der Daten: 2.6 table(round(median_klein, 2))[1:8]
1.2 1.35 1.5 1.6 1.65 1.75 1.8 1.9
4 12 53 1 92 48 161 224 klein = warten[:8]
print("Daten:", klein.tolist())Daten: [1.2, 1.5, 1.8, 2.0, 2.1, 2.3, 2.5, 2.6]zieh_klein = ziehungen(klein, 2000)
median_klein = np.median(zieh_klein, axis=1)
print("Median beobachtet =", round(float(np.median(klein)), 4))Median beobachtet = 2.05print("Perzentilintervall:", np.percentile(median_klein, [2.5, 97.5]).round(4))Perzentilintervall: [1.5 2.5]print("verschiedene Werte in der Bootstrap-Verteilung:",
len(np.unique(median_klein)))verschiedene Werte in der Bootstrap-Verteilung: 22print("Maximum der Bootstrap-Verteilung:", median_klein.max(),
" Maximum der Daten:", klein.max())Maximum der Bootstrap-Verteilung: 2.6 Maximum der Daten: 2.6print(pd.Series(median_klein).round(2).value_counts().sort_index().head(8))1.20 4
1.35 12
1.50 53
1.60 1
1.65 92
1.75 48
1.80 161
1.90 224
Name: count, dtype: int64| Ausgabe | Wert hier | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
| Median beobachtet | 2.050 | |
| Perzentilintervall | 1.500 bis 2.500 | Sieht unauffällig aus. |
| verschiedene Werte in der Bootstrap-Verteilung | 22 | Die ganze Verteilung besteht aus 22 verschiedenen Zahlen. Von einer glatten Verteilung, deren Quantile man ablesen könnte, kann keine Rede sein. |
| Maximum der Bootstrap-Verteilung | 2.600 | Genau das Maximum der Daten. Der Bootstrap kann keinen Wert erzeugen, der nicht beobachtet wurde. |
Das letzte ist der grundsätzliche Punkt: Die Bootstrap-Verteilung lebt ausschliesslich innerhalb der beobachteten Werte. Bei acht Beobachtungen sind das acht Zahlen, und aus deren Kombinationen entstehen 22 mögliche Mediane.
Zwei Regeln folgen daraus.
Der Bootstrap braucht genügend Daten. Als grobe Untergrenze gelten 20 bis 30 Beobachtungen, für Kennzahlen an den Verteilungsrändern deutlich mehr. Bei kleinen Stichproben ist eine Formel mit Verteilungsannahme meist die bessere Wahl, auch wenn ihre Annahme unsicher ist.
Für Extremwerte ist er grundsätzlich ungeeignet. Ein Konfidenzintervall für das Maximum wäre nach oben durch das beobachtete Maximum begrenzt, was offensichtlich falsch ist. Dasselbe gilt abgeschwächt für hohe Quantile wie das 95-Prozent-Quantil.
Der Bootstrap warnt nicht. Er liefert für acht Beobachtungen ebenso bereitwillig ein Intervall wie für achthundert, und das Ergebnis sieht in beiden Fällen gleich aus. Die Prüfung, ob genug Daten vorliegen, muss deshalb vorher stattfinden.
Ein nützlicher Blick: die Anzahl verschiedener Werte in der Bootstrap-Verteilung. Sind es wenige Dutzend, ist die Verteilung zu grobkörnig, um Quantile daraus abzulesen.
Für die acht Werte wurde kein Bootstrap-Intervall berechnet. Die Bootstrap-Verteilung des Medians nimmt nur 22 verschiedene Werte an und ist nach oben durch den grössten beobachteten Wert begrenzt; ein daraus abgeleitetes Intervall wäre irreführend. Berichtet wird stattdessen die Spannweite der Beobachtungen.
Warum wird beim Bootstrap mit Zurücklegen gezogen?
Das t-Intervall lautet 7.05 bis 17.54, das Bootstrap-Intervall 7.81 bis 17.72. Woher kommt der Unterschied?
Eine Bootstrap-Verteilung aus 2000 Ziehungen nimmt nur 22 verschiedene Werte an. Was folgt daraus?
Warum eignet sich der Bootstrap nicht für ein Konfidenzintervall des Maximums?