Alle Beispiele rechnen mit fest eingetragenen Zahlen, damit R und Python dieselben Daten sehen und jeder Wert im Text nachprüfbar ist.
| Fragestellung | Hängen zwei Grössen zusammen, wie eng, und lässt sich der Zusammenhang vom Zufall unterscheiden? |
| Zielvariable | keine; beide Grössen sind gleichberechtigt |
| Eingang | zwei metrische Grössen für Pearson, mindestens ordinale für Spearman und Kendall |
| Was die Methode liefert | Korrelationskoeffizient mit Konfidenzintervall, Teststatistik, Freiheitsgrade, p-Wert |
| R-Funktion | cor.test(x, y), mit method = "spearman" oder "kendall" |
| Python-Funktion | pg.corr(x, y, method="pearson"), alternativ stats.pearsonr() und stats.spearmanr() |
| Verwandte Methoden | Korrelation, einfache lineare Regression |
Die Konzeptseite zur Korrelation erklärt, was ein Korrelationskoeffizient misst. Diese Seite behandelt den Test dazu und die Wahl zwischen den drei Verfahren.
Typische Fragestellungen: Hängt der Absatz mit der Temperatur zusammen, die Bearbeitungszeit mit der Auftragsgrösse, die Zufriedenheit mit der Wartezeit? Gemeinsam ist ihnen, dass keine der beiden Grössen als Zielgrösse ausgezeichnet ist. Sobald eine vorhergesagt werden soll, ist die Regression das passende Verfahren.
| Situation | Stattdessen |
|---|---|
| Eine Grösse soll aus der anderen vorhergesagt werden | einfache lineare Regression |
| Weitere Grössen sollen konstant gehalten werden | multiple lineare Regression oder Partialkorrelation |
| Beide Merkmale sind kategorial | Chi-Quadrat-Tests, Cramérs V |
| Ein Merkmal ist zweistufig, das andere metrisch | t-Test für zwei Stichproben |
| Der Zusammenhang ist nicht monoton, etwa U-förmig | keiner der drei Koeffizienten; das Streudiagramm ansehen und ein Modell wählen |
| Es geht um Übereinstimmung, nicht um Zusammenhang | Bland-Altman-Verfahren oder Intraklassenkorrelation |
Die letzte Zeile trennt zwei Dinge, die oft verwechselt werden. Zwei Messgeräte, von denen eines konstant 5 Einheiten zu viel anzeigt, korrelieren perfekt und stimmen trotzdem nie überein.
Alle drei Koeffizienten messen Zusammenhang auf einer Skala von -1 bis +1, aber sie messen Verschiedenes.
| Koeffizient | Was er misst | Grundlage |
|---|---|---|
| Pearson \(r\) | Stärke des linearen Zusammenhangs | Produkte der standardisierten Abweichungen vom Mittelwert |
| Spearman \(\rho\) | Stärke des monotonen Zusammenhangs | Pearson-Korrelation der Ränge |
| Kendall \(\tau\) | Anteil gleichgerichteter Paare | Vergleich aller Paare: Steigen beide Werte gemeinsam? |
\[r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}\]
Getestet wird bei allen dreien dieselbe Nullhypothese: In der Grundgesamtheit besteht kein Zusammenhang, der Koeffizient ist null. Für Pearson läuft der Test über
\[t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\]
mit \(n-2\) Freiheitsgraden. Daraus folgt eine nützliche Einsicht: Ob ein gegebenes \(r\) signifikant wird, hängt allein am Stichprobenumfang. Bei \(n = 10\) braucht es \(r > 0.63\), bei \(n = 500\) genügt \(r > 0.09\).
Das Konfidenzintervall entsteht nicht direkt aus dieser Formel, sondern über die Fisher-z-Transformation, weil die Verteilung von \(r\) nahe -1 und +1 stark schief ist. Deshalb liegt das Intervall auch nicht symmetrisch um \(r\).
| Voraussetzung | Gilt für | Prüfung | Folge bei Verletzung |
|---|---|---|---|
| Unabhängige Beobachtungspaare | alle drei | Erhebungsdesign | p-Wert wertlos; bei Zeitreihen ist die Voraussetzung fast nie erfüllt |
| Linearer Zusammenhang | Pearson | Streudiagramm | \(r\) unterschätzt einen vorhandenen Zusammenhang, siehe Beispiel 2 |
| Monotoner Zusammenhang | Spearman, Kendall | Streudiagramm | bei U-förmigem Verlauf liefern auch sie nahe null |
| Metrische Skala | Pearson | Skalenniveau | Mittelwerte sind nicht definiert |
| Annähernd normalverteilte Werte | Test und Intervall bei Pearson | QQ-Plot | p-Wert und Intervall werden unzuverlässig, besonders bei kleinem n |
| Keine einflussreichen Ausreisser | Pearson stark, Spearman kaum | Streudiagramm | ein einzelner Punkt kann \(r\) von 0.3 auf 0.96 heben, siehe Beispiel 3 |
Das Streudiagramm steht vor jeder Korrelationsrechnung. Kein Korrelationskoeffizient kann die Form des Zusammenhangs beschreiben, und mehrere völlig verschiedene Punktwolken können denselben Wert liefern.
R, cor.test():
| Grösse | Was sie sagt | Faustregel oder Falle |
|---|---|---|
t |
Teststatistik bei Pearson | folgt aus \(r\) und \(n\); sie enthält keine zusätzliche Information |
df |
Freiheitsgrade | \(n-2\) |
p-value |
Wahrscheinlichkeit eines mindestens so grossen Betrags bei fehlendem Zusammenhang | sagt nichts über die Stärke |
95 percent confidence interval |
Intervall für den wahren Koeffizienten | die aussagekräftigste Zeile; sie ist bei kleinem n erschreckend breit |
sample estimates: cor |
der Koeffizient selbst | die Zahl, um die es eigentlich geht |
S bei Spearman |
Summe der quadrierten Rangdifferenzen | nicht direkt deutbar; \(\rho\) steht darunter |
T oder z bei Kendall |
Teststatistik | je nach Variante und Stichprobengrösse |
Warnung Cannot compute exact p-value with ties |
Bindungen in den Rängen | R weicht auf eine Näherung aus; bei Spearman und Kendall häufig |
| kein Konfidenzintervall bei Spearman und Kendall | fehlt in R | über Bootstrap zu bekommen; pingouin gibt eines aus |
Python, pg.corr() liefert eine Zeile:
| Spalte | Was sie sagt | Unterschied zu R |
|---|---|---|
n |
Anzahl vollständiger Paare | in R nicht ausgegeben |
r |
Koeffizient | wie cor |
CI95 |
Konfidenzintervall | auch für Spearman und Kendall, anders als in R |
p-val bzw. p_val |
p-Wert | wie p-value |
BF10 |
Bayes-Faktor bei Pearson | in R nicht enthalten |
power |
erreichte Power | in R nicht enthalten |
Vorlage für den Ergebnissatz:
[Grösse 1] und [Grösse 2] hängen zusammen: \(r\) = [Wert], 95-Prozent-Konfidenzintervall [unten] bis [oben], t([df]) = [t], p = [p], n = [n]. Der Zusammenhang erklärt [r²] der Streuung.
Genannt werden: das verwendete Verfahren und warum es gewählt wurde, der Koeffizient mit Konfidenzintervall, Teststatistik mit Freiheitsgraden, p-Wert und n. Dazu gehört die Feststellung, dass das Streudiagramm angesehen wurde, und bei Ausschlüssen die Begründung.
| Methode | Wann diese statt eines Korrelationstests |
|---|---|
| Korrelation | die Kennzahl allein genügt, ohne Test |
| Einfache lineare Regression | eine Gerade mit Steigung in der Einheit der Sache wird gebraucht |
| Multiple lineare Regression | weitere Einflussgrössen sollen konstant gehalten werden |
| Chi-Quadrat-Tests | beide Merkmale kategorial |
| Nichtparametrische Tests | Frage nach Unterschied statt nach Zusammenhang |
Bei genau einem Prädiktor sind der Pearson-Korrelationstest und der t-Test der Steigung in der einfachen linearen Regression derselbe Test: gleiche Teststatistik, gleiche Freiheitsgrade, gleicher p-Wert. Sie unterscheiden sich nur darin, was sie zusätzlich ausgeben.
An zwanzig Tagen wurden die Höchsttemperatur in Grad Celsius und der Absatz von Kaltgetränken in Flaschen erfasst. Die Frage lautet: Hängen die beiden Grössen zusammen, und wie eng?
Es soll nichts vorhergesagt werden, und keine der beiden Grössen ist ausgezeichnet. Damit ist der Korrelationstest passend und nicht die Regression.
temperatur <- c(12.4, 14.1, 15.3, 16.0, 17.2, 18.5, 19.1, 20.4, 21.3, 22.0,
22.8, 23.5, 24.2, 25.1, 26.3, 27.0, 28.4, 29.2, 30.5, 31.1)
absatz <- c(118, 137, 122, 151, 145, 168, 152, 183, 175, 190,
181, 199, 205, 196, 228, 212, 235, 247, 239, 262)
par(mar = c(4, 4, 2, 1))
plot(temperatur, absatz, pch = 16, col = "grey30",
xlab = "Höchsttemperatur (°C)", ylab = "Absatz (Flaschen)")
lines(lowess(temperatur, absatz), col = "firebrick", lwd = 2)
import statsmodels.api as sm
temperatur = np.array([12.4, 14.1, 15.3, 16.0, 17.2, 18.5, 19.1, 20.4, 21.3,
22.0, 22.8, 23.5, 24.2, 25.1, 26.3, 27.0, 28.4, 29.2,
30.5, 31.1])
absatz = np.array([118, 137, 122, 151, 145, 168, 152, 183, 175, 190,
181, 199, 205, 196, 228, 212, 235, 247, 239, 262])
fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.4))
achse.scatter(temperatur, absatz, s=18, color="0.3")
glatt = sm.nonparametric.lowess(absatz, temperatur)
achse.plot(glatt[:, 0], glatt[:, 1], color="firebrick", linewidth=2)
achse.set_xlabel("Höchsttemperatur (°C)")
achse.set_ylabel("Absatz (Flaschen)")
plt.tight_layout()
plt.show()
Die Punkte steigen gleichmässig an, die Glättungslinie verläuft praktisch gerade, und es gibt keinen Punkt weit ausserhalb der Wolke. Der Zusammenhang ist linear, damit ist Pearson das passende Verfahren.
cor.test(temperatur, absatz)
Pearson's product-moment correlation
data: temperatur and absatz
t = 19.396, df = 18, p-value = 1.635e-13
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.9413081 0.9910098
sample estimates:
cor
0.9769019 print(pg.corr(temperatur, absatz).round(4).T) pearson
n 20
r 0.9769
CI95 [0.94, 0.99]
p_val 0.0
BF10 1.855e+10
power 1.0| Ausgabe | Wert hier | Bedeutung | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|---|
cor bzw. r |
0.977 | Pearson-Korrelation | Ein sehr enger linearer Zusammenhang. Werte über 0.9 sind in erhobenen Daten selten und meist ein Hinweis darauf, dass beide Grössen von derselben Ursache getrieben werden. |
t |
19.396 | Teststatistik | Sie folgt allein aus \(r\) und \(n\) und enthält keine zusätzliche Information. |
df |
18 | Freiheitsgrade | \(n-2\), also 20 minus 2. |
p-value |
1.6e-13 | Wahrscheinlichkeit eines mindestens so grossen Betrags ohne Zusammenhang | Praktisch ausgeschlossen. |
95 percent confidence interval |
0.941 bis 0.991 | Intervall für den wahren Koeffizienten | Die aussagekräftigste Zeile. Beachten Sie die Unsymmetrie: von 0.977 sind es 0.036 nach unten und nur 0.014 nach oben. Das liegt an der Fisher-z-Transformation und daran, dass \(r\) bei 1 endet. |
| \(r^2\) | 0.954 | Anteil gemeinsamer Streuung | Rund 95 Prozent der Absatzschwankung gehen mit der Temperatur einher. Diese Zahl steht in keiner der beiden Ausgaben und muss selbst gebildet werden. |
power (nur Python) |
nahe 1 | Bei diesem Effekt und n = 20 hätte der Test kaum etwas übersehen können. |
Der Zusammenhang ist eng, und trotzdem sagt er nichts über Ursachen. Denkbar ist, dass Wärme den Durst treibt; ebenso denkbar ist, dass an warmen Tagen mehr Menschen unterwegs sind und deshalb mehr gekauft wird. Die Korrelation ist symmetrisch und kennt keine Richtung.
Wer eine Aussage in Flaschen je Grad braucht, ist beim Korrelationstest falsch. Der Koeffizient hat keine Einheit; die Steigung liefert die Regression.
Höchsttemperatur und Absatz hängen eng zusammen: \(r\) = 0.98, 95-Prozent-Konfidenzintervall 0.94 bis 0.99, t(18) = 19.40, p < 0.001, n = 20. Der Zusammenhang erklärt rund 95 Prozent der gemeinsamen Streuung. Das Streudiagramm zeigt einen linearen Verlauf ohne auffällige Punkte. Über die Richtung der Wirkung lässt sich daraus nichts ableiten.
Fünfzehn Messungen eines Wachstumsvorgangs: Der Wert verdoppelt sich in gleichmässigen Abständen. Der Zusammenhang ist perfekt monoton und deutlich gekrümmt. Das Beispiel zeigt, warum die Wahl zwischen Pearson und Spearman keine Geschmacksfrage ist.
schritt <- 1:15
messwert <- c(1.4, 1.9, 2.7, 3.8, 5.3, 7.4, 10.3, 14.4,
20.1, 28.0, 39.1, 54.6, 76.2, 106.3, 148.4)
par(mar = c(4, 4, 2, 1))
plot(schritt, messwert, pch = 16, col = "grey30",
xlab = "Schritt", ylab = "Messwert")
cor.test(schritt, messwert)
Pearson's product-moment correlation
data: schritt and messwert
t = 6.1142, df = 13, p-value = 3.695e-05
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.6248274 0.9530902
sample estimates:
cor
0.8613825 cor.test(schritt, messwert, method = "spearman")
Spearman's rank correlation rho
data: schritt and messwert
S = 1.2434e-13, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
1 
schritt = np.arange(1, 16)
messwert = np.array([1.4, 1.9, 2.7, 3.8, 5.3, 7.4, 10.3, 14.4,
20.1, 28.0, 39.1, 54.6, 76.2, 106.3, 148.4])
fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 3.2))
achse.scatter(schritt, messwert, s=18, color="0.3")
achse.set_xlabel("Schritt")
achse.set_ylabel("Messwert")
plt.tight_layout()
plt.show()
for art in ("pearson", "spearman", "kendall"):
zeile = pg.corr(schritt, messwert, method=art).round(4)
print(f"{art:9s} r = {float(zeile['r'].iloc[0]):+.4f}")pearson r = +0.8614
spearman r = +1.0000
kendall r = +1.0000| Koeffizient | Wert hier | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
| Pearson \(r\) | 0.861 | Sieht nach einem starken, aber unvollkommenen Zusammenhang aus. Der Eindruck ist falsch. |
| Pearson \(r^2\) | 0.742 | Es fehlen scheinbar 26 Prozent der Streuung. Tatsächlich fehlt nichts: Was \(r\) nicht erfasst, ist die Krümmung, nicht Zufall. |
| Spearman \(\rho\) | 1.000 | Perfekt. Jeder Schritt liefert einen höheren Wert als der vorige, mehr verlangt ein monotoner Zusammenhang nicht. |
Spearman S |
1.24e-13 | Die Summe der quadrierten Rangdifferenzen. Sie ist rechnerisch null, weil die Rangfolgen identisch sind; R gibt einen winzigen Rundungsrest aus statt einer glatten Null. |
| Kendall \(\tau\) | 1.000 | Ebenfalls perfekt. Von allen 105 Paaren steigt keines gegenläufig. |
Der Vergleich macht den Unterschied greifbar. Pearson misst, wie gut die Punkte auf einer Geraden liegen; sie tun es nicht, also bleibt \(r\) unter 1. Spearman und Kendall messen, ob die Reihenfolge übereinstimmt; sie tut es vollständig, also erreichen beide den Höchstwert.
Hier wäre es falsch, einfach Spearman zu berichten und zufrieden zu sein. Die interessante Erkenntnis ist die Form: Der Vorgang wächst nicht linear, sondern exponentiell. Eine Korrelation von 1.000 verdeckt das eher, als sie es zeigt. Wer die Form braucht, logarithmiert die Zielgrösse und rechnet dann weiter; nach dem Logarithmieren wäre auch Pearsons \(r\) praktisch 1.
Zwischen Schritt und Messwert besteht ein perfekt monotoner Zusammenhang (Spearman \(\rho\) = 1.00, n = 15). Pearsons \(r\) beträgt 0.86 und unterschätzt den Zusammenhang, weil der Verlauf gekrümmt ist; das Streudiagramm zeigt exponentielles Wachstum. Für die weitere Auswertung wurde der Messwert logarithmiert.
Neunzehn Betriebe, erfasst sind die durchschnittliche Auftragsgrösse und die Bearbeitungsdauer. Ein zwanzigster Betrieb kommt hinzu, der in beiden Grössen weit ausserhalb liegt.
groesse <- c(4.1, 5.2, 4.8, 5.5, 4.3, 5.1, 4.6, 5.3, 4.9, 5.0,
4.4, 5.4, 4.7, 5.2, 4.5, 5.1, 4.8, 5.0, 4.6)
dauer <- c(22, 19, 24, 21, 20, 23, 18, 25, 21, 22,
19, 24, 20, 23, 21, 19, 25, 20, 22)
groesse_mit <- c(groesse, 12.0)
dauer_mit <- c(dauer, 60)
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(groesse, dauer, pch = 16, col = "grey30", main = "ohne den Fall",
xlab = "Auftragsgrösse", ylab = "Dauer (min)")
plot(groesse_mit, dauer_mit, pch = 16, col = "grey30", main = "mit dem Fall",
xlab = "Auftragsgrösse", ylab = "Dauer (min)")
points(12.0, 60, pch = 16, col = "firebrick", cex = 1.4)
par(mfrow = c(1, 1))
cor.test(groesse, dauer)
Pearson's product-moment correlation
data: groesse and dauer
t = 1.255, df = 17, p-value = 0.2265
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.1878627 0.6583304
sample estimates:
cor
0.2911939 cor.test(groesse_mit, dauer_mit)
Pearson's product-moment correlation
data: groesse_mit and dauer_mit
t = 14.984, df = 18, p-value = 1.313e-11
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.9049728 0.9852096
sample estimates:
cor
0.9621729 cor.test(groesse_mit, dauer_mit, method = "spearman")
Spearman's rank correlation rho
data: groesse_mit and dauer_mit
S = 801.22, p-value = 0.08258
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.3975777 
groesse = np.array([4.1, 5.2, 4.8, 5.5, 4.3, 5.1, 4.6, 5.3, 4.9, 5.0,
4.4, 5.4, 4.7, 5.2, 4.5, 5.1, 4.8, 5.0, 4.6])
dauer = np.array([22, 19, 24, 21, 20, 23, 18, 25, 21, 22,
19, 24, 20, 23, 21, 19, 25, 20, 22])
groesse_mit = np.append(groesse, 12.0)
dauer_mit = np.append(dauer, 60)
fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.2))
achsen[0].scatter(groesse, dauer, s=18, color="0.3")
achsen[0].set_title("ohne den Fall")
achsen[1].scatter(groesse_mit, dauer_mit, s=18, color="0.3")
achsen[1].scatter([12.0], [60], s=50, color="firebrick")
achsen[1].set_title("mit dem Fall")
for achse in achsen:
achse.set_xlabel("Auftragsgrösse")
achse.set_ylabel("Dauer (min)")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("ohne Pearson :", pg.corr(groesse, dauer).round(4).to_dict("records"))ohne Pearson : [{'n': 19, 'r': 0.2912, 'CI95': array([-0.19, 0.66]), 'p_val': 0.2265, 'BF10': '0.562', 'power': 0.2319}]print("mit Pearson :", pg.corr(groesse_mit, dauer_mit).round(4).to_dict("records"))mit Pearson : [{'n': 20, 'r': 0.9622, 'CI95': array([0.9 , 0.99]), 'p_val': 0.0, 'BF10': '3.773e+08', 'power': 1.0}]print("mit Spearman:", pg.corr(groesse_mit, dauer_mit,
method="spearman").round(4).to_dict("records"))mit Spearman: [{'n': 20, 'r': 0.3976, 'CI95': array([-0.05, 0.71]), 'p_val': 0.0826, 'power': 0.4254}]| Kennzahl | Ohne den Fall (n = 19) | Mit dem Fall (n = 20) | Wie das zu lesen ist |
|---|---|---|---|
| Pearson \(r\) | 0.291 | 0.962 | Eine einzige zusätzliche Beobachtung hebt die Korrelation von schwach auf nahezu perfekt. |
| Konfidenzintervall | -0.19 bis 0.66 | 0.90 bis 0.99 | Die beiden Intervalle überschneiden sich nicht einmal. |
t |
1.255 | 14.984 | |
p-value |
0.226 | 1.3e-11 | Aus einem Nullbefund wird ein hochsignifikantes Ergebnis. |
| \(r^2\) | 0.085 | 0.926 | Von 8 auf 93 Prozent erklärte Streuung. |
| Spearman \(\rho\) (mit dem Fall) | 0.398 | Der Rangkoeffizient bleibt bei 0.40 und ist mit p = 0.08 nicht signifikant. Für ihn ist der Ausreisser einfach der grösste von zwanzig Werten, nicht ein zwanzigfach entfernter. |
Der Grund steckt in der Formel: Pearsons \(r\) arbeitet mit Abweichungen vom Mittelwert, und ein Punkt, der in beiden Grössen weit aussen liegt, liefert ein riesiges Produkt. Er bestimmt damit den Zähler fast allein. Der Rangkoeffizient sieht nur, dass dieser Betrieb in beiden Reihen den letzten Platz belegt, und das zählt genauso viel wie jeder andere Platz.
Der Punkt wird nicht gelöscht, weil er stört, und er wird nicht behalten, weil er ein schönes Ergebnis liefert. Er wird geprüft:
| Befund | Vorgehen |
|---|---|
| Erfassungsfehler, etwa Minuten und Stunden vermischt | ausschliessen, Begründung berichten |
| Anderer Betriebstyp, der nicht zur Fragestellung gehört | ausschliessen, Grundgesamtheit im Bericht enger fassen |
| Gültiger, seltener Fall | beide Ergebnisse berichten und offenlegen, dass die Aussage an einer Beobachtung hängt |
In jedem Fall gehört ein rangbasierter Koeffizient daneben. Wenn Pearson und Spearman weit auseinanderliegen, ist das ein Warnsignal, und zwar unabhängig davon, welcher der beiden gerade das gewünschte Ergebnis liefert.
In den 19 vergleichbaren Betrieben besteht kein nachweisbarer Zusammenhang zwischen Auftragsgrösse und Bearbeitungsdauer (\(r\) = 0.29, 95-Prozent-Konfidenzintervall -0.19 bis 0.66, t(17) = 1.26, p = 0.23). Ein zwanzigster Betrieb liegt in beiden Grössen weit ausserhalb und hebt \(r\) auf 0.96; Spearmans \(\rho\) bleibt mit 0.40 unauffällig. Der Fall wurde als andersartiger Betriebstyp ausgeschlossen.
500 Beobachtungen, ein schwacher, aber echter Zusammenhang. Damit beide Sprachen exakt dieselben Daten sehen, werden sie nicht gezogen, sondern aus Quantilen der Normalverteilung konstruiert.
lauf <- 0:499
grundlage <- qnorm(ppoints(500))
versatz <- qnorm(((lauf * 97) %% 500 + 0.5) / 500)
merkmal_x <- 50 + 10 * grundlage
merkmal_y <- 100 + 0.12 * (10 * grundlage) + 5 * versatz
cor.test(merkmal_x, merkmal_y)
Pearson's product-moment correlation
data: merkmal_x and merkmal_y
t = 5.3374, df = 498, p-value = 1.435e-07
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.1479404 0.3139009
sample estimates:
cor
0.2326133 lauf = np.arange(500)
grundlage = stats.norm.ppf((np.arange(1, 501) - 0.5) / 500)
versatz = stats.norm.ppf(((lauf * 97) % 500 + 0.5) / 500)
merkmal_x = 50 + 10 * grundlage
merkmal_y = 100 + 0.12 * (10 * grundlage) + 5 * versatz
print(pg.corr(merkmal_x, merkmal_y).round(4).T) pearson
n 500
r 0.2326
CI95 [0.15, 0.31]
p_val 0.0
BF10 5.495e+04
power 0.9996| Ausgabe | Wert hier | Wie er zu lesen ist |
|---|---|---|
cor bzw. r |
0.233 | Ein schwacher Zusammenhang. |
t |
5.337 | |
df |
498 | \(n-2\). |
p-value |
1.4e-07 | Hochsignifikant. |
95 percent confidence interval |
0.15 bis 0.31 | Anders als bei kleinem n ist das Intervall schmal: Der schwache Zusammenhang ist präzise geschätzt. |
| \(r^2\) | 0.054 | Und hier steht die eigentliche Antwort: Gemeinsam erklären die beiden Grössen 5 Prozent der Streuung. 95 Prozent gehen auf anderes zurück. |
Derselbe Koeffizient von 0.233 wäre bei n = 20 mit p = 0.32 ein glatter Nullbefund gewesen. Der p-Wert misst also nicht die Stärke des Zusammenhangs, sondern wie gut man ihn bei diesem Umfang vom Zufall unterscheiden kann.
Ob 5 Prozent erklärte Streuung viel oder wenig sind, entscheidet die Sache. Für eine Vorhersage im Einzelfall ist es zu wenig; für die Beschreibung eines Zusammenhangs in einer grossen Grundgesamtheit kann es genügen.
Die brauchbarste Angabe für einen Bericht ist deshalb nicht der p-Wert, sondern \(r\) mit Intervall und \(r^2\). Sie beantworten die Frage, um die es geht: wie stark, und wie sicher ist diese Angabe?
Zwischen den beiden Merkmalen besteht ein schwacher, aber statistisch nachweisbarer Zusammenhang (\(r\) = 0.23, 95-Prozent-Konfidenzintervall 0.15 bis 0.31, t(498) = 5.34, p < 0.001, n = 500). Er erklärt rund 5 Prozent der gemeinsamen Streuung; für Aussagen im Einzelfall ist er zu schwach.
Pearsons \(r\) beträgt 0.86, Spearmans \(\rho\) beträgt 1.00. Was folgt daraus?
Ein Datensatz liefert \(r\) = 0.29 und p = 0.23. Nach Hinzufügen einer einzigen Beobachtung liefert er \(r\) = 0.96 und p < 0.001. Was ist zu tun?
Bei n = 500 ist \(r\) = 0.23 hochsignifikant. Wie stark ist der Zusammenhang?
Warum liegt das Konfidenzintervall für \(r\) = 0.977 nicht symmetrisch um diesen Wert?