ARIMA und SARIMA

Zeitreihen

Prognose

Interpretation

Python

Modellordnung wählen, schätzen, Residuen prüfen und prognostizieren.

Kurzsteckbrief

Fragestellung	Wie lässt sich die Abhängigkeitsstruktur einer Zeitreihe modellieren und daraus prognostizieren?
Zielvariable	eine stationäre oder durch Differenzieren stationär gemachte Zeitreihe
Prädiktoren	die eigene Vergangenheit, optional externe Grössen
Was die Methode liefert	Koeffizienten mit Standardfehlern, Informationskriterien, Prognose mit Intervall, Residuendiagnostik
R-Funktion	`Arima(reihe, order = c(p, d, q), seasonal = c(P, D, Q))`, automatisch `auto.arima()`
Python-Funktion	`SARIMAX(reihe, order=(p, d, q), seasonal_order=(P, D, Q, s)).fit()`
Verwandte Methoden	Glättung, Stationarität

Wann diese Methode, wann nicht

Typische Fragestellungen: Prognose einer Absatzreihe mit Trend und Saison, Modellierung der Abhängigkeitsstruktur, Vergleich verschiedener Modellordnungen über Informationskriterien.

ARIMA-Modelle beschreiben eine Reihe durch drei Bausteine: die eigene Vergangenheit (AR), die Vergangenheit der Fehler (MA) und die Anzahl nötiger Differenzen (I). SARIMA ergänzt dieselben Bausteine für die saisonale Ebene. Der Vorteil gegenüber der Glättung ist die explizite Modellierung der Abhängigkeit und die saubere Herleitung der Prognoseintervalle; der Preis ist die Wahl der Ordnung.

Situation	Stattdessen
Schnelle, robuste Prognose ohne Modellwahl	Glättung
Externe Einflussgrössen sind entscheidend	Regression mit Zeitreihenfehlern, oder SARIMAX mit exogenen Variablen
Mehrere Reihen beeinflussen sich gegenseitig	Vektorautoregression
Die Streuung selbst schwankt über die Zeit, etwa bei Kursen	GARCH-Modelle
Reihe zu kurz, weniger als etwa 50 Beobachtungen	einfache Verfahren, keine Saisonschätzung
Deutliche Strukturbrüche	Reihe teilen oder Modell mit Bruch

Grundidee und Modell

Ein ARIMA(p, d, q)-Modell auf der differenzierten Reihe \(\Delta^d y_t\):

\[\Delta^d y_t = c + \phi_1 \Delta^d y_{t-1} + \dots + \phi_p \Delta^d y_{t-p} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t\]

Bestandteil	Bedeutung
\(p\)	Ordnung des autoregressiven Teils: wie viele frühere Werte
\(d\)	Anzahl Differenzen, um Stationarität zu erreichen
\(q\)	Ordnung des Fehlerteils: wie viele frühere Fehler
\(\phi_i\)	Gewichte der früheren Werte
\(\theta_j\)	Gewichte der früheren Fehler
\(\varepsilon_t\)	Rauschen, unabhängig und mit konstanter Streuung

SARIMA ergänzt \((P, D, Q)_s\) für die saisonale Ebene, wobei \(s\) die Periode ist, also 12 bei Monatsdaten. Ein SARIMA(1,1,1)(0,1,1)\(_{12}\) differenziert also einmal gewöhnlich und einmal saisonal.

Die Ordnung liest man aus den Korrelogrammen der stationär gemachten Reihe, siehe Stationarität, ACF und PACF:

Muster	Deutung
PACF bricht nach \(p\) Abständen ab, ACF fällt langsam	AR(\(p\))
ACF bricht nach \(q\) Abständen ab, PACF fällt langsam	MA(\(q\))
beide fallen langsam	gemischtes Modell, Ordnung über Informationskriterien wählen
Spitzen bei Vielfachen der Periode	saisonale Anteile nötig

Voraussetzungen und ihre Prüfung

Voraussetzung	Was sie bedeutet	Prüfung	Folge bei Verletzung	Vorgehen
Stationarität nach Differenzieren	Niveau und Streuung konstant	ACF, ADF- und KPSS-Test	Koeffizienten nicht interpretierbar, Prognose driftet	differenzieren, logarithmieren
Konstante Streuung	Die Schwankungsbreite wächst nicht	Grafik	Prognoseintervalle falsch	logarithmieren, Box-Cox
Residuen ohne Autokorrelation	Das Modell hat alle Struktur erfasst	ACF der Residuen, Ljung-Box	Intervalle zu schmal, Prognose systematisch daneben	Ordnung erhöhen, saisonale Anteile prüfen
Genügend Beobachtungen	Faustregel: mindestens 50, für Saison vier Perioden	Länge prüfen	Ordnung nicht schätzbar, Überanpassung	einfachere Modelle
Kein Strukturbruch	Ein Modell für die ganze Reihe	Grafik	Modell mittelt über zwei Regime	Reihe teilen
Sparsame Ordnung	Nicht mehr Parameter als nötig	Informationskriterien, Testfehler	Überanpassung, schlechte Prognose	Ordnung reduzieren

Output lesen

R, summary(Arima(...)):

Grösse	Was sie sagt	Faustregel oder Falle
`ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]`	gewählte Ordnung, gewöhnlich und saisonal	die Zahl in Klammern ist die Periode
`ar1`, `ma1`	Koeffizienten der gewöhnlichen Anteile	Betrag unter eins nötig für Stationarität
`sma1`	saisonaler MA-Koeffizient	oft nahe minus eins bei saisonal differenzierten Reihen
`s.e.`	Standardfehler je Koeffizient	Koeffizient geteilt durch Standardfehler über 2 heisst bedeutsam
`sigma^2`	Streuung der Residuen	Grundlage der Prognoseintervalle
`log likelihood`	Anpassungsmass	nur zwischen Modellen auf identischen Daten vergleichbar
`AIC`, `AICc`, `BIC`	Informationskriterien	kleiner ist besser; `AICc` bei kurzen Reihen bevorzugen
`Training set error measures`	RMSE, MAE, MAPE auf den Trainingsdaten	nicht zur Beurteilung der Prognose geeignet
`ACF1`	Autokorrelation der Residuen im ersten Abstand	nahe null erwartet

Python, SARIMAX.summary():

Grösse	Was sie sagt	Unterschied zu R
`coef`, `std err`, `z`, `P>\|z\|`	Koeffizienten mit Test	R nennt keine p-Werte, nur Standardfehler
`sigma2`	Residuenstreuung	wie `sigma^2`
`Log Likelihood`, `AIC`, `BIC`	Anpassung	`AICc` fehlt
`Ljung-Box (L1) (Q)`	Test auf Autokorrelation im ersten Abstand	in R über `checkresiduals()`
`Jarque-Bera (JB)`	Test auf Normalität der Residuen	in R im Diagnoseplot
`Heteroskedasticity (H)`	Test auf konstante Streuung	in R nicht enthalten
Warnungen zu Konvergenz	Optimierung nicht konvergiert	ernst nehmen, Ordnung vereinfachen

Zwei Unterschiede in der Handhabung: In Python steht die Periode als vierter Wert in seasonal_order, in R getrennt über frequency der Reihe. Und SARIMAX schätzt standardmässig kein konstantes Glied, wenn differenziert wird, während R mit include.drift steuerbar ist; bei Reihen mit Trend nach einer Differenz ist das ein häufiger Grund für abweichende Prognosen.

Beispiele

Alle Beispiele arbeiten mit derselben konstruierten Absatzreihe: 96 Monate ab Januar 2018 mit linearem Trend, Jahressaison und einem autokorrelierten Fehler (AR(1) mit Koeffizient 0.6). Die letzten zwölf Monate bleiben als Testteil ungesehen; geschätzt wird auf den ersten 84.

Frage und Datenlage

Vor jedem ARIMA-Modell stehen zwei Entscheidungen: wie oft differenziert wird (\(d\) und \(D\)) und welche Ordnungen (\(p\), \(q\), \(P\), \(Q\)) daraus folgen. Beide werden aus den Korrelogrammen der stationär gemachten Reihe gelesen.

Rechnung

round(c(d = forecast::ndiffs(training),
        D = forecast::nsdiffs(training)), 0)

d D 
1 1

stationaer <- diff(diff(training, lag = 12))

par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
acf(stationaer, lag.max = 24, main = "ACF nach Differenzieren")
pacf(stationaer, lag.max = 24, main = "PACF nach Differenzieren")
par(mfrow = c(1, 1))

round(c(n = length(stationaer),
        grenze = 1.96 / sqrt(length(stationaer)),
        sd_roh = sd(training),
        sd_stationaer = sd(stationaer)), 3)

            n        grenze        sd_roh sd_stationaer 
       71.000         0.233       105.072        25.937

Abbildung 1: Beispiel 1: ACF und PACF nach gewöhnlichem und saisonalem Differenzieren.

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, acf, pacf

stationaer = training.diff(12).diff().dropna()

fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.6))
plot_acf(stationaer, ax=achsen[0], lags=24, title="ACF nach Differenzieren")
plot_pacf(stationaer, ax=achsen[1], lags=24, title="PACF nach Differenzieren",
          method="ywm")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 2: Beispiel 1: dieselben Korrelogramme in Python.

print("ADF p nach Differenzieren:", round(adfuller(stationaer)[1], 4))

ADF p nach Differenzieren: 0.0092

print("n =", len(stationaer),
      "| Konfidenzgrenze:", round(1.96 / np.sqrt(len(stationaer)), 3))

n = 71 | Konfidenzgrenze: 0.233

print("ACF ", np.round(acf(stationaer, nlags=14)[1:15], 3))

ACF  [-0.022 -0.12  -0.261 -0.193 -0.046 -0.101  0.177  0.134  0.123  0.091
  0.024 -0.401 -0.149  0.101]

print("PACF", np.round(pacf(stationaer, nlags=14, method="ywm")[1:15], 3))

PACF [-0.022 -0.12  -0.271 -0.25  -0.176 -0.322 -0.084 -0.075 -0.015  0.119
  0.217 -0.281 -0.077  0.104]

Output Zeile für Zeile

Nach einer gewöhnlichen und einer saisonalen Differenz bleiben 71 Werte übrig; die Konfidenzgrenze liegt bei ±0.233. Der ADF-Test bestätigt Stationarität (p = 0.009).

Abstand	1	2	3	4	5	6	11	12	13
ACF	-0.022	-0.120	-0.261	-0.193	-0.046	-0.101	0.024	-0.401	-0.149
PACF	-0.022	-0.120	-0.271	-0.250	-0.176	-0.322	0.217	-0.281	-0.077

Ausgabe	Wie sie zu lesen ist
ACF bei 12: -0.401	Der grösste Einzelwert und weit ausserhalb der Grenze. Ein negativer Wert genau bei der Periode ist die Signatur des saisonalen Differenzierens: Es erzeugt eine saisonale MA-Struktur. Daraus folgt \(Q = 1\).
Keine weitere Spitze bei 24	Ein saisonaler MA-Term reicht; \(Q = 2\) wäre nicht begründet.
Auf der kurzen Skala ist das Bild unklar	ACF und PACF haben beide einen Ausschlag bei 3 und danach kleinere Werte, ohne dass eine der beiden sauber abbricht. Genau der Fall aus der Theorie: beide fallen allmählich ab, also gemischtes Modell, die Ordnung ist nicht ablesbar.
Streuung vor und nach dem Differenzieren	sinkt deutlich
`ndiffs` und `nsdiffs` in R	schlagen \(d\) und \(D\) vor

Was die Korrelogramme hier leisten und was nicht. Sie liefern eindeutig \(D = 1\) und \(Q = 1\), die saisonale Ebene ist klar. Für die gewöhnliche Ebene geben sie nur die Auskunft “es ist etwas da, aber weder reines AR noch reines MA”. Die Wahl zwischen (1,1,1), (0,1,1), (1,1,0) und (2,1,2) fällt deshalb in Beispiel 2 über Informationskriterien und den Testfehler, nicht über das Bild.

Das ist der Normalfall. Lehrbuchbeispiele mit klar abbrechender PACF sind konstruiert; echte Reihen sehen aus wie diese.

Interpretation und Ergebnissatz

Die Reihe wird einmal gewöhnlich und einmal saisonal differenziert; danach ist sie stationär (ADF p = 0.009). Die ACF zeigt bei Abstand 12 einen deutlich negativen Wert (-0.40), was für einen saisonalen MA-Term spricht (\(Q = 1\)). Auf der kurzen Zeitskala brechen weder ACF noch PACF ab; die gewöhnliche Ordnung wird über Informationskriterien gewählt.

Frage und Datenlage

Vier Kandidaten für die gewöhnliche Ordnung, alle mit derselben saisonalen Struktur \((0,1,1)_{12}\). Welcher gewinnt, und woran misst man das?

Rechnung

kandidaten <- list(
  "(0,1,1)" = c(0, 1, 1),
  "(1,1,0)" = c(1, 1, 0),
  "(1,1,1)" = c(1, 1, 1),
  "(2,1,2)" = c(2, 1, 2)
)

for (name in names(kandidaten)) {
  m <- Arima(training, order = kandidaten[[name]], seasonal = c(0, 1, 1))
  cat(sprintf("%-9s AICc = %8.2f | BIC = %8.2f | logLik = %8.2f\n",
              name, m$aicc, m$bic, m$loglik))
}

(0,1,1)   AICc =   637.62 | BIC =   644.05 | logLik =  -315.63
(1,1,0)   AICc =   637.82 | BIC =   644.25 | logLik =  -315.73
(1,1,1)   AICc =   626.93 | BIC =   635.38 | logLik =  -309.16
(2,1,2)   AICc =   631.11 | BIC =   643.37 | logLik =  -308.90

automatisch <- auto.arima(training, stepwise = FALSE, approximation = FALSE)
automatisch

Series: training 
ARIMA(1,0,0)(2,1,0)[12] with drift 

Coefficients:
         ar1     sar1     sar2   drift
      0.4436  -0.7188  -0.6356  3.9558
s.e.  0.1085   0.0983   0.1003  0.1372

sigma^2 = 262.3:  log likelihood = -308.2
AIC=626.41   AICc=627.32   BIC=637.79

for ordnung in [(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (2, 1, 2)]:
    m = SARIMAX(training, order=ordnung, seasonal_order=(0, 1, 1, 12),
                enforce_stationarity=False,
                enforce_invertibility=False).fit(disp=False)
    print(f"{str(ordnung):<10} AIC = {m.aic:8.2f} | BIC = {m.bic:8.2f}"
          f" | logLik = {m.llf:8.2f}")

(0, 1, 1)  AIC =   511.02 | BIC =   517.15 | logLik =  -252.51
(1, 1, 0)  AIC =   519.90 | BIC =   526.08 | logLik =  -256.95
(1, 1, 1)  AIC =   501.64 | BIC =   509.81 | logLik =  -246.82
(2, 1, 2)  AIC =   483.41 | BIC =   495.56 | logLik =  -235.70

Output Zeile für Zeile

Ordnung	Parameter	AICc, R	BIC, R	AIC, Python	BIC, Python
(0,1,1)	2	637.62	644.05	511.02	517.15
(1,1,0)	2	637.82	644.25	519.90	526.08
(1,1,1)	3	626.93	635.38	501.64	509.81
(2,1,2)	5	631.11	643.37	483.41	495.56

Beobachtung	Deutung
Die beiden Umgebungen wählen verschieden	R nimmt (1,1,1), Python (2,1,2). Das ist der wichtigste Befund dieses Beispiels und kein Widerspruch, sondern die Folge davon, dass `Arima()` und `SARIMAX` verschieden rechnen.
Die Zahlenniveaus liegen 130 Punkte auseinander	Die beiden Funktionen behandeln die Startwerte der differenzierten Reihe verschieden; R bezieht die Likelihood auf die volle Reihe, Python auf die differenzierte. Verglichen wird deshalb innerhalb einer Umgebung, nie über die Tabs hinweg.
Warum Python (2,1,2) bevorzugt	Weil hier `enforce_stationarity` und `enforce_invertibility` abgeschaltet sind, darf das grösste Modell an den Rand des Parameterraums laufen und holt sich dort ein besseres Kriterium. R lässt das nicht zu.
Die log-Likelihood steigt immer mit mehr Parametern	Das ist keine Information, sondern eine Selbstverständlichkeit; deshalb braucht es überhaupt Kriterien.
AIC und BIC bestrafen Parameter verschieden	AIC mit 2 je Parameter, BIC mit \(\ln n\), hier also 4.4. `AICc` korrigiert AIC zusätzlich für kleine Stichproben und ist bei \(n = 84\) die bessere Wahl.
Unterschiede unter etwa zwei gelten als unbedeutend	In der R-Spalte liegen (0,1,1) und (1,1,0) mit 637.62 und 637.82 gleichauf; zwischen ihnen entscheidet das Kriterium nichts.

Zwei Regeln zu Informationskriterien, die oft verletzt werden:

Sie sind nur zwischen Modellen auf identischen Daten vergleichbar. Wer \(d\) oder \(D\) ändert, ändert die Daten, auf die das Modell passt, die Werte sind dann nicht mehr vergleichbar. Nur \(p\), \(q\), \(P\) und \(Q\) dürfen variieren.
Ein kleines Kriterium ist keine gute Prognose. Es misst die Anpassung an die Trainingsdaten, bestraft um die Parameterzahl. Bewertet wird auf dem Testteil.

Die automatische Suche in R landet meist nicht bei der von Hand gewählten Ordnung, sondern bei einer Variante mit Drift und saisonalen AR-Termen. Beide beschreiben dieselbe Struktur, Trend plus Jahressaison, nur über verschiedene Bauteile. Das ist der Normalfall und kein Widerspruch.

Interpretation

Das Kriterium liefert eine Vorauswahl, keine Entscheidung. Die Entscheidung fällt über Residuendiagnostik (Beispiel 4) und Testfehler (Beispiel 3).

Frage und Datenlage

Das Modell SARIMA(1,1,1)(0,1,1)\(_{12}\) wird geschätzt und seine Ausgabe Zeile für Zeile gelesen. Dabei zeigt sich ein Problem, das die Informationskriterien nicht anzeigen.

Rechnung

modell <- Arima(training, order = c(1, 1, 1), seasonal = c(0, 1, 1))
summary(modell)

Series: training 
ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12] 

Coefficients:
         ar1      ma1     sma1
      0.5535  -1.0000  -0.9999
s.e.  0.1008   0.0726   0.2714

sigma^2 = 249.6:  log likelihood = -309.16
AIC=626.33   AICc=626.93   BIC=635.38

Training set error measures:
                     ME     RMSE      MAE         MPE     MAPE      MASE
Training set -0.5614175 14.21601 10.23293 -0.07878486 1.517141 0.2157456
                   ACF1
Training set 0.09953009

# Zum Vergleich: ohne die gewoehnliche Differenz, dafuer mit Drift
ohne_d <- Arima(training, order = c(1, 0, 0), seasonal = c(0, 1, 1),
                include.drift = TRUE)
round(coef(ohne_d), 4)

    ar1    sma1   drift 
 0.5335 -1.0000  3.9541

modell = SARIMAX(training, order=(1, 1, 1), seasonal_order=(0, 1, 1, 12),
                 enforce_stationarity=False,
                 enforce_invertibility=False).fit(disp=False)
print(modell.summary())

                                     SARIMAX Results                                      
==========================================================================================
Dep. Variable:                                  y   No. Observations:                   84
Model:             SARIMAX(1, 1, 1)x(0, 1, 1, 12)   Log Likelihood                -246.818
Date:                            Sat, 12 Sep 2026   AIC                            501.636
Time:                                    06:38:43   BIC                            509.808
Sample:                                01-01-2018   HQIC                           504.812
                                     - 12-01-2024                                         
Covariance Type:                              opg                                         
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1          0.5341      0.163      3.277      0.001       0.215       0.854
ma.L1         -1.0000   1391.775     -0.001      0.999   -2728.830    2726.830
ma.S.L12      -1.0000   3094.192     -0.000      1.000   -6065.504    6063.504
sigma2       247.7772   8.92e+05      0.000      1.000   -1.75e+06    1.75e+06
===================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q):                   2.11   Jarque-Bera (JB):                11.26
Prob(Q):                              0.15   Prob(JB):                         0.00
Heteroskedasticity (H):               0.56   Skew:                            -0.60
Prob(H) (two-sided):                  0.22   Kurtosis:                         4.82
===================================================================================

Warnings:
[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

ohne_d = SARIMAX(training, order=(1, 0, 0), seasonal_order=(0, 1, 1, 12),
                 trend="c", enforce_stationarity=False,
                 enforce_invertibility=False).fit(disp=False)
print(ohne_d.params.round(4))

intercept     23.4348
ar.L1          0.5028
ma.S.L12      -1.0000
sigma2       234.7663
dtype: float64

Output Zeile für Zeile

Koeffizient	Schätzung (R / Python)	Standardfehler (R / Python)	Was er sagt
`ar1` beziehungsweise `ar.L1`	0.554 / 0.534	0.101 / 0.163	Trägheit auf der gewöhnlichen Ebene: Gut die Hälfte der Abweichung überträgt sich auf den Folgemonat. Schätzung geteilt durch Standardfehler ergibt 5.5 beziehungsweise 3.3, deutlich von null verschieden.
`ma1` beziehungsweise `ma.L1`	-1.000 / -1.000	0.073 / 1393	Beide landen exakt auf -1. Hier stimmt etwas nicht.
`sma1` beziehungsweise `ma.S.L12`	-1.000 / -1.000	0.271 / 3098	Ebenfalls am Rand, hier aber der Normalfall.
`sigma^2`	249.6 / 247.8		Streuung der Residuen, Grundlage der Prognoseintervalle.

Befund	Erklärung
Der MA-Koeffizient liegt exakt bei -1.000	Auf dem Rand des zulässigen Bereichs; Invertierbarkeit verlangt einen Betrag unter eins. Dass beide Umgebungen dort landen, ist der eigentliche Befund.
Die Standardfehler unterscheiden sich um vier Grössenordnungen	R erzwingt Invertierbarkeit und meldet einen unauffälligen Wert von 0.073; Python hat die Schranke hier abgeschaltet, läuft frei in den Rand und meldet 1393, also “an dieser Stelle ist die Likelihood flach, der Wert ist unbestimmt”. Die ehrlichere Ausgabe ist die von Python, weil sie das Problem sichtbar macht statt es wegzuklemmen.
Was das inhaltlich bedeutet	Ein MA(1)-Koeffizient von -1 hebt eine Differenz genau wieder auf. Das Modell sagt also: die gewöhnliche Differenz war unnötig. Und das stimmt, die Reihe wurde mit einem deterministischen Trend erzeugt, der nicht wegdifferenziert gehört, siehe Stationarität, Beispiel 3.
`ma.S.L12 = -1.000` ist dagegen unauffällig	Bei saisonal differenzierten Reihen ist ein saisonaler MA-Koeffizient nahe -1 der Regelfall und kein Warnzeichen.
Die Alternative ohne gewöhnliche Differenz	`(1,0,0)(0,1,1)` mit Drift kommt ohne Randwert aus. In R lautet der Drift 3.96 je Monat (nahe an den eingebauten 4), in Python nennt `trend="c"` stattdessen ein Absolutglied.

Warum die Informationskriterien das nicht zeigen: Ein Modell, das eine überflüssige Differenz durch einen MA-Term von -1 wieder aufhebt, passt genauso gut wie das Modell ohne beides. Die Likelihood ist gleich, die Parameterzahl um eins höher, der AIC-Nachteil beträgt magere zwei Punkte und verschwindet im Vergleich mit anderen Ordnungen.

Woran man es erkennt, ist deshalb immer der Blick auf die Koeffizienten:

Zeichen	Bedeutung
MA-Koeffizient nahe -1 auf der gewöhnlichen Ebene	\(d\) ist um eins zu hoch
AR-Koeffizient nahe +1	\(d\) ist um eins zu niedrig; die Reihe ist noch nicht stationär
Standardfehler um Grössenordnungen zu gross	die Likelihood ist flach, das Modell überparametrisiert

Interpretation und Ergebnissatz

Das Modell SARIMA(1,1,1)(0,1,1)\(_{12}\) schätzt einen AR-Koeffizienten von 0.55 (SE 0.10); der gewöhnliche MA-Koeffizient läuft mit -1.00 auf den Rand des Parameterraums, was auf eine überflüssige gewöhnliche Differenz hinweist. Eine Variante ohne diese Differenz und mit Drift schätzt dieselbe Trägheit ohne Randwert und einen Drift von 3.96 je Monat.

Frage und Datenlage

Der entscheidende Prüfschritt. Ein Modell ohne saisonale Anteile passt scheinbar, lässt aber Struktur in den Residuen zurück. Verglichen werden ARIMA(1,1,0) ohne Saison und das vollständige Modell.

Rechnung

zu_einfach <- Arima(training, order = c(1, 1, 0))

checkresiduals(zu_einfach)


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(1,1,0)
Q* = 70.798, df = 16, p-value = 7.23e-09

Model df: 1.   Total lags used: 17

checkresiduals(modell)


    Ljung-Box test

data:  Residuals from ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]
Q* = 16.028, df = 14, p-value = 0.3117

Model df: 3.   Total lags used: 17

Abbildung 3: Beispiel 4: Residuendiagnostik ohne saisonale Anteile, die ACF zeigt Spitzen bei Vielfachen von zwölf.

Abbildung 4: Beispiel 4: Residuendiagnostik ohne saisonale Anteile, die ACF zeigt Spitzen bei Vielfachen von zwölf.

zu_einfach = SARIMAX(training, order=(1, 1, 0),
                     enforce_stationarity=False).fit(disp=False)

fig, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 3.4))
for achse, (name, m) in zip(achsen, [("ohne Saison", zu_einfach),
                                     ("mit Saison", modell)]):
    plot_acf(m.resid[13:], ax=achse, lags=24, title=f"Residuen {name}")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 5: Beispiel 4: die ACF der Residuen beider Modelle.

for name, m in [("ohne Saison", zu_einfach), ("mit Saison", modell)]:
    residuen = m.resid[13:]
    lb = acorr_ljungbox(residuen, lags=[12, 24], return_df=True)
    print(f"{name:12s} Ljung-Box p: {lb['lb_pvalue'].round(4).tolist()}"
          f" | ACF(12) = {acf(residuen, nlags=24)[12]:+.3f}"
          f" | ACF(24) = {acf(residuen, nlags=24)[24]:+.3f}")

ohne Saison  Ljung-Box p: [0.0001, 0.0] | ACF(12) = +0.284 | ACF(24) = +0.193
mit Saison   Ljung-Box p: [0.2401, 0.1234] | ACF(12) = -0.054 | ACF(24) = -0.106

Output Zeile für Zeile

Modell	Ljung-Box p (12)	Ljung-Box p (24)	ACF(12)	ACF(24)
ohne Saison	0.0001	< 0.0001	+0.284	+0.193
mit Saison	0.240	0.123	-0.054	-0.106

(Python-Werte. checkresiduals() in R wählt die Anzahl Abstände selbst, für das Modell ohne Saison 17 statt 12 und kommt auf \(Q^* = 70.8\) mit p = 7·10⁻⁹, also zum selben Schluss.)

Befund	Erklärung
ACF(12) = +0.284 ohne Saison	Die Residuen von vor zwölf Monaten sagen etwas über die heutigen, genau die Saisonstruktur, die das Modell nicht kennt. Bei 24 noch +0.193.
Ljung-Box p = 0.0001	Der Test verwirft die Annahme unkorrelierter Residuen deutlich. Er prüft alle Abstände bis 12 gemeinsam.
Mit Saison: ACF(12) = -0.054, p = 0.24	Innerhalb der Konfidenzgrenzen, der Test unauffällig. Die Struktur ist erfasst.
Die Punktprognosen sind dabei nicht das Hauptproblem	Verzerrt sind vor allem die Intervalle: Das Modell behandelt verbleibende Struktur als Rauschen und schätzt die Unsicherheit falsch ein.

Die Diagnose ist zugleich das Rezept:

Wo die Spitze liegt	Was fehlt
bei Vielfachen der Periode (12, 24)	saisonale Anteile, \(P\), \(Q\) oder \(D\)
beim ersten Abstand	ein gewöhnlicher AR- oder MA-Term
langsam abfallend über viele Abstände	eine Differenz
überall verstreut, einzelne knapp draussen	nichts; bei 24 Abständen ist ein Ausreisser zufällig zu erwarten

Und immer beides prüfen: ACF und Test, nicht eines allein. Der Test fasst zusammen und sagt nicht, wo das Problem sitzt; die Grafik sagt es, hat aber keine Schwelle.

Interpretation und Ergebnissatz

Ohne saisonale Anteile bleiben die Residuen deutlich autokorreliert (Ljung-Box p < .001, ACF bei Abstand 12 gleich +0.28). Das vollständige Modell besteht die Prüfung (p = 0.24, ACF(12) = -0.05); berichtet wird dieses.

Frage und Datenlage

Zwölf Monate Prognose gegen die tatsächlichen Werte und gegen drei einfachere Modelle. Rechtfertigt der Aufwand sich?

Rechnung

prognose <- forecast(modell, h = 12)

par(mar = c(4, 4, 2, 1))
plot(prognose, ylab = "Absatz", xlab = "Jahr",
     main = "SARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]", include = 36)
lines(test, col = "#b2182b", lwd = 2)

naiv <- snaive(training, h = 12)
hw <- hw(training, h = 12, seasonal = "additive")
zu_einfach_p <- forecast(zu_einfach, h = 12)

spalten <- c("RMSE", "MAE", "MAPE")
round(rbind(
  naiv_saisonal = accuracy(naiv, test)["Test set", spalten],
  ohne_saison = accuracy(zu_einfach_p, test)["Test set", spalten],
  holt_winters = accuracy(hw, test)["Test set", spalten],
  sarima = accuracy(prognose, test)["Test set", spalten]
), 2)

               RMSE   MAE MAPE
naiv_saisonal 50.29 47.08 5.62
ohne_saison   72.56 60.06 7.34
holt_winters  19.22 16.95 2.02
sarima        16.96 14.06 1.67

# Wie schnell wird das Intervall breiter?
round(c(monat_1 = prognose$upper[1, "95%"] - prognose$lower[1, "95%"],
        monat_12 = prognose$upper[12, "95%"] - prognose$lower[12, "95%"]), 1)

 monat_1.95% monat_12.95% 
        67.9         85.1

Abbildung 6: Beispiel 5: Prognose des SARIMA-Modells mit Intervall, dazu die tatsächlichen Werte.

from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing

vorhersage = modell.get_forecast(12)
mittel = vorhersage.predicted_mean
band = vorhersage.conf_int(alpha=0.05)

fig, achse = plt.subplots()
achse.plot(training.iloc[-36:], color="0.5", label="Training")
achse.plot(test, color="#b2182b", lw=2, label="tatsächlich")
achse.plot(mittel, color="#2166ac", lw=2, label="Prognose")
achse.fill_between(test.index, band.iloc[:, 0], band.iloc[:, 1],
                   color="#2166ac", alpha=0.15)
achse.set_ylabel("Absatz")
achse.legend(frameon=False)
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 7: Beispiel 5: dieselbe Prognose in Python.

def masse(wahr, geschaetzt):
    fehler = np.asarray(wahr) - np.asarray(geschaetzt)
    return {"RMSE": round(float(np.sqrt((fehler ** 2).mean())), 2),
            "MAE": round(float(np.abs(fehler).mean()), 2),
            "MAPE": round(float(np.abs(fehler / np.asarray(wahr)).mean() * 100), 2)}


hw = ExponentialSmoothing(training, trend="add", seasonal="add",
                          seasonal_periods=12,
                          initialization_method="estimated").fit()

kandidaten = {
    "naiv_saisonal": training.iloc[-12:].values,
    "ohne_saison": zu_einfach.get_forecast(12).predicted_mean.values,
    "holt_winters": hw.forecast(12).values,
    "sarima": mittel.values,
}
print(pd.DataFrame({name: masse(test, werte)
                    for name, werte in kandidaten.items()}).T)

                RMSE    MAE  MAPE
naiv_saisonal  50.29  47.08  5.62
ohne_saison    72.63  60.13  7.35
holt_winters   18.17  15.49  1.84
sarima         17.07  14.15  1.68

print("Bandbreite Monat 1: ", round(float(band.iloc[0, 1] - band.iloc[0, 0]), 1))

Bandbreite Monat 1:  67.7

print("Bandbreite Monat 12:", round(float(band.iloc[-1, 1] - band.iloc[-1, 0]), 1))

Bandbreite Monat 12: 83.4

Output Zeile für Zeile

Modell	RMSE (Python / R)	MAPE (Python / R)
naiv saisonal	50.29 / 50.29	5.62 / 5.62 %
ARIMA ohne Saison	72.63 /,	7.35 /, %
Holt-Winters	18.17 / 19.22	1.84 / 2.02 %
SARIMA(1,1,1)(0,1,1)	17.07 / 16.96	1.68 / 1.67 %

Beobachtung	Deutung
SARIMA schlägt die naive Prognose um den Faktor 3	Das rechtfertigt den Aufwand gegenüber “gar kein Modell”.
Gegenüber Holt-Winters beträgt der Vorsprung rund einen Punkt RMSE	Also 6 Prozent in Python, 12 Prozent in R. Das ist der Vergleich, der wirklich zählt: gegen das einfachere Verfahren, das dieselbe Aufgabe löst. Ob der Gewinn den zusätzlichen Aufwand aus Ordnungswahl und Diagnostik wert ist, ist eine Sachfrage, keine statistische.
Das Modell ohne Saison ist schlechter als die naive Prognose	72.6 gegen 50.3. Ein Modell kann alles andere unterbieten, wenn ihm der wichtigste Bestandteil fehlt.
Bandbreite Monat 1 gegen Monat 12	67.7 gegen 83.4

Warum SARIMA hier nur knapp gewinnt, obwohl die Reihe mit einem autokorrelierten Fehler konstruiert wurde: Der AR(1)-Anteil mit Koeffizient 0.6 trägt zwar zur Prognose bei, aber nur für die ersten Monate. Danach ist sein Beitrag abgeklungen (\(0.6^{6} = 0.05\)), und übrig bleibt dasselbe, was Holt-Winters auch kann, Trend und Saison fortschreiben.

Die allgemeine Lehre: Der Vorsprung eines Modells über eine explizite Abhängigkeitsstruktur ist bei kurzen Horizonten gross und bei langen klein.

Interpretation und Ergebnissatz

Das Modell SARIMA(1,1,1)(0,1,1)\(_{12}\) prognostiziert die folgenden zwölf Monate mit einem RMSE von 17.1 (MAPE 1.7 Prozent), gegenüber 50.3 (5.6 Prozent) bei der naiven saisonalen Prognose und 18.2 (1.8 Prozent) bei Holt-Winters. Alle tatsächlichen Werte liegen im 95-Prozent-Prognoseintervall, dessen Breite von 68 auf 83 Einheiten wächst. Der Gewinn gegenüber der naiven Prognose ist gross, gegenüber dem einfacheren Verfahren gering.

Frage und Datenlage

Ein einzelner Testzeitraum ist eine Stichprobe von eins. Was, wenn gerade dieses Jahr besonders gut oder schlecht prognostizierbar war? Die rollierende Bewertung verschiebt den Prognosezeitpunkt über die Reihe.

Rechnung

fehler_rollierend <- tsCV(absatz, forecastfunction = function(x, h) {
  forecast(Arima(x, order = c(1, 1, 1), seasonal = c(0, 1, 1)), h = h)
}, h = 6, initial = 60)

round(c(RMSE_rollierend = sqrt(mean(fehler_rollierend^2, na.rm = TRUE)),
        anzahl_fehler = sum(!is.na(fehler_rollierend)),
        RMSE_einmalig = accuracy(prognose, test)["Test set", "RMSE"]), 2)

RMSE_rollierend   anzahl_fehler   RMSE_einmalig 
          18.98          195.00           16.96

fehler_liste = []
for ende in range(72, len(absatz) - 6, 6):
    teil = absatz.iloc[:ende]
    m = SARIMAX(teil, order=(1, 1, 1), seasonal_order=(0, 1, 1, 12),
                enforce_stationarity=False,
                enforce_invertibility=False).fit(disp=False)
    p = m.get_forecast(6).predicted_mean
    fehler_liste.append(absatz.iloc[ende:ende + 6].values - p.values)

alle = np.concatenate(fehler_liste)
print({"RMSE_rollierend": round(float(np.sqrt((alle ** 2).mean())), 2),
       "Anzahl Prognosen": len(alle),
       "Anzahl Fenster": len(fehler_liste)})

{'RMSE_rollierend': 18.08, 'Anzahl Prognosen': 18, 'Anzahl Fenster': 3}

Output Zeile für Zeile

Bewertung	RMSE (Python / R)	Grundlage
einmaliger Testteil	17.07 / 16.96	12 Prognosen von einem Zeitpunkt aus
rollierend	18.08 / 18.98	Python: 18 Prognosen aus 3 Fenstern; R: `tsCV()` schiebt um je einen Schritt und sammelt deutlich mehr

Beobachtung	Deutung
Die Werte liegen nahe beieinander	17.1 gegen 18.1 in Python, 17.0 gegen 19.0 in R. Der einmalige Testteil war also nicht ungewöhnlich günstig, ein beruhigender Befund.
Die rollierende Zahl beruht auf mehr Prognosen	und ist damit weniger vom gewählten Abschnitt abhängig. Bei knapp beieinander liegenden Modellen ist sie die richtige Grundlage.
Der Horizont unterscheidet sich	6 statt 12 Monate. Kürzere Horizonte sind leichter, deshalb sind die Zahlen nicht direkt vergleichbar, nur die Grössenordnung.
Der Preis	Das Modell wird für jedes Fenster neu geschätzt. Bei drei Fenstern ist das harmlos, bei einer langen Reihe mit Schrittweite eins nicht.

Die R-Funktion tsCV() macht es gründlicher: Sie schiebt den Zeitpunkt um je einen Schritt weiter und liefert daher viel mehr Fehler. Die Python-Schleife oben nimmt Schritte von sechs Monaten, um die Rechenzeit zu begrenzen. Beide Zahlen sind deshalb nicht direkt vergleichbar, wohl aber jede für sich mit dem einmaligen Testfehler.

Wann sich der Aufwand lohnt: wenn zwei Modelle im einmaligen Testfehler weniger als etwa zehn Prozent auseinanderliegen, wie hier SARIMA und Holt-Winters. Dann entscheidet ein einzelner Testabschnitt zufällig.

Interpretation und Ergebnissatz

In einer rollierenden Bewertung mit sechs Monaten Horizont erreicht das Modell einen RMSE von 18.1 (Python, drei Fenster) beziehungsweise 19.0 (R, tsCV()), gegenüber 17.0 auf dem einmaligen Testteil. Die Prognosegüte hängt damit nicht am gewählten Testabschnitt.

Interpretationsfallen

Informationskriterien vergleichen nur gleiche Daten. Wer die Anzahl Differenzen ändert, darf AIC-Werte nicht mehr vergleichen.
Ein kleines AIC ist keine gute Prognose. Bewertet wird auf einem Testteil, nicht am Kriterium.
Residuen ohne Prüfung sind ein Kunstfehler. ACF und Ljung-Box gehören zu jedem berichteten Modell.
Die automatische Suche ersetzt das Denken nicht. Sie findet ein Modell mit gutem Kriterium; ob die Ordnung zur Reihe passt, sagt die Grafik.
Überdifferenzieren verschlechtert das Modell. Eine Differenz mehr als nötig erzeugt künstliche Struktur, siehe Stationarität.
Koeffizienten sind selten inhaltlich deutbar. Ein AR-Koeffizient von 0.6 beschreibt Trägheit, nicht eine Ursache.
Prognosen driften zum Mittel. Über längere Horizonte laufen ARIMA-Prognosen gegen einen konstanten Wert oder eine Gerade; die Intervalle werden dabei sehr breit.
Kein Modell überlebt einen Strukturbruch. Wer über einen Bruch hinweg schätzt, mittelt zwei Regime.

Ergebnis berichten

Vorlage für den Ergebnissatz:

Die Reihe wurde als [Ordnung] modelliert (geschätzt auf [Zeitraum], n = [n]). Die Residuen zeigen keine Autokorrelation (Ljung-Box p = [p]). Auf dem Testteil von [h] Perioden erreicht die Prognose einen RMSE von [Wert] und einen MAPE von [Wert] Prozent, gegenüber [Wert] beziehungsweise [Wert] bei der naiven saisonalen Prognose.

Genannt werden: Modellordnung samt Periode, Trainingszeitraum und n, Anzahl Differenzen und deren Begründung, Koeffizienten mit Standardfehlern, Informationskriterium, Residuendiagnostik, Fehlermasse auf dem Testteil und der Vergleich mit einer naiven Prognose.

Beispiel für eine Ergebnistabelle:

Modell	AICc	Ljung-Box p	RMSE (Test)	MAPE (Test)
naiv saisonal
Holt-Winters
SARIMA(1,1,1)(0,1,1)

Abgrenzung zu verwandten Methoden

Methode	Wann diese statt ARIMA
Glättung	schnelle robuste Prognose, keine Modellwahl gewünscht
Regression mit Zeitreihenfehlern	externe Einflussgrössen sind wichtig
Vektorautoregression	mehrere Reihen beeinflussen sich gegenseitig
GARCH	die Schwankungsbreite selbst ist das Thema
Multiple lineare Regression	keine zeitliche Abhängigkeit vorhanden
Verfahren des maschinellen Lernens	viele Reihen, viele Prädiktoren, Deutbarkeit zweitrangig

Verständnisfragen

Die ACF der Residuen zeigt Spitzen bei den Abständen 12 und 24. Was fehlt dem Modell?

Saisonale Anteile

Richtig. Spitzen bei Vielfachen der Periode sind das Zeichen für nicht erfasste Saisonstruktur. Ergänzt wird ein saisonaler AR- oder MA-Term, oft zusammen mit saisonalem Differenzieren.

Ein zusätzlicher gewöhnlicher AR-Term

Der würde den ersten Abstand betreffen, nicht Vielfache von zwölf.

Eine weitere gewöhnliche Differenz

Sie entfernt Trend, nicht Saison.

Modell A hat AIC 512 bei zwei Differenzen, Modell B hat AIC 498 bei einer Differenz. Welches ist besser?

B, das AIC ist kleiner

Die Werte sind nicht vergleichbar.

Nicht entscheidbar: verschiedene Anzahl Differenzen heisst verschiedene Daten

Richtig. Informationskriterien gelten nur zwischen Modellen auf identischen Daten. Verglichen wird dann über die Prognosegüte auf einem Testteil.

A, weil weniger Differenzen sparsamer sind

A hat mehr Differenzen, und Sparsamkeit entscheidet hier nicht.

Was bedeutet ein AR-Koeffizient von 0.6?

Trägheit: ein Teil der Abweichung vom Niveau überträgt sich auf den nächsten Zeitpunkt

Richtig. Der Wert beschreibt die Struktur der Reihe, nicht eine Ursache. Beträge unter eins sind für Stationarität nötig.

Der nächste Wert ist 60 Prozent des aktuellen

Der Koeffizient wirkt auf die Abweichung vom Niveau, nicht auf den Wert selbst.

Das Modell erklärt 60 Prozent der Varianz

Das wäre eine andere Kennzahl.

Die automatische Suche wählt ARIMA(3,0,2) für eine Reihe mit sichtbarem Trend. Was ist zu prüfen?

Ob die Reihe differenziert werden müsste; ohne Differenz modelliert das Modell den Trend über viele AR-Terme

Richtig. Eine hohe AR-Ordnung bei d = 0 und sichtbarem Trend ist ein typisches Zeichen. Ein Blick auf ACF und Stationaritätstests klärt es.

Nichts, die Suche minimiert das Kriterium

Sie tut das, kann dabei aber eine unpassende Struktur wählen.

Ob genügend Beobachtungen vorliegen

Auch eine Frage, aber nicht die auffällige hier.

Kurzsteckbrief

Wann diese Methode, wann nicht

Grundidee und Modell

Voraussetzungen und ihre Prüfung

Output lesen

Beispiele

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation und Ergebnissatz

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation und Ergebnissatz

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation und Ergebnissatz

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation und Ergebnissatz

Frage und Datenlage

Rechnung

Output Zeile für Zeile

Interpretation und Ergebnissatz

Interpretationsfallen

Ergebnis berichten

Abgrenzung zu verwandten Methoden

Verständnisfragen

Verlinkte Ressourcen